3.3: El Teorema Binomial

Aquí hay un ejemplo algebraico en el que “$n$elegir$r$” surge de forma natural.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considerar:

$(a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$

Si intentas multiplicar esto, debes elegir sistemáticamente el$a$ o el$b$ de cada uno de los cuatro factores, y asegurarte de hacer todas las combinaciones posibles de elecciones tarde o temprano.

Una forma de dividir esta tarea en trozos más pequeños es separarla en cinco partes, dependiendo de cuántos de los factores elija como$(4, 3, 2, 1$, o$0)$. Cada vez que elijas$4$ de las$a$ s, obtendrás una sola contribución al coeficiente del término$a^4$; cada vez que elijas$3$ de las$a$ s, obtendrás una sola contribución al término$a^3b$; cada vez que elijas$2$ de la$a$ s, tú obtendrá una sola contribución al término$a^2 b^2$; cada vez que elija$1$ de los$a$ s, obtendrá una sola contribución al término$ab^3$; y cada vez que elija$0$ de los$a$ s, obtendrá una sola contribución al término$b^4$. Es decir, el coeficiente de un término en particular$a^i b^{4−i}$ será el número de formas en las que se puede elegir$i$ de los factores de entre los que tomar un$a$, tomando a$b$ de los otros$4 − i$ factores (dónde$0 ≤ i ≤ 4)$.

Pasemos por cada uno de estos casos por separado. Por Teorema 3.1.1, hay$\binom{4}{4} = 1$ manera de elegir cuatro factores de los que tomar como. (Claramente, debes elegir una a de cada uno de los cuatro factores.) Así, el coeficiente de$a^4$ será$1$.

Si quieres tomar a partir de tres de los cuatro factores, el Teorema 3.1.1 nos dice que hay$\binom{4}{3} = 4$ formas en las que elegir los factores de los que tomas el$a$ s. (Específicamente, estas cuatro formas consisten en tomar el$b$ de cualquiera de los cuatro factores, y el como de los otros tres factores). Así, el coeficiente de$a^3 b$ será$4$.

Si quieres tomar como de dos de los cuatro factores, y bs de los otros dos, el Teorema 3.1.1 nos dice que hay$\binom{4}{2} = 6$ formas en las que elegir los factores de los que tomas el as (luego tomar$b$ s de los otros dos factores). Este es un ejemplo lo suficientemente pequeño como para que puedas elaborar fácilmente las seis formas a mano si lo deseas. Así, el coeficiente de$a^2 b^2$ será$6$.

Si quieres tomar a partir de uno de los cuatro factores, el Teorema 3.1.1 nos dice que hay$\binom{4}{1} = 4$ formas en las que elegir los factores de los que tomas el$a$ s. (Específicamente, estas cuatro formas consisten en tomar el$a$ de cualquiera de los cuatro factores, y el$b$ s del otro tres factores). Así, el coeficiente de$ab^3$ será$4$.

Finalmente, por el Teorema 3.1.1, hay$\binom{4}{0} = 1$ manera de elegir cero factores de los que tomar$a$ s. (Claramente, se debe elegir un$b$ de cada uno de los cuatro factores.) Así, el coeficiente de$b^4$ será$1$.

Armando todo esto, vemos que

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

De hecho, si dejamos los coeficientes en la forma original en la que los elaboramos, vemos que

$(a+b)^4 = \binom{4}{4} a^4 + \binom{4}{3} a^3b + \binom{4}{2} a^2b^2 + \binom{4}{1} ab^3 + \binom{4}{0} b^4$

Este ejemplo se generaliza en un teorema significativo de las matemáticas:

Teorema$\PageIndex{1}$: Binomial Theorem

Para cualquier$a$ y$b$, y cualquier número natural$n$, tenemos

$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^r b^{n-r}$$

Un caso especial de esto es que

$$(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$$

Prueba

Al igual que en el Ejemplo 2.2.3.1, vemos que el coeficiente de$a^r b^{n−r}$ in$(a+b)^n$ será el número de formas de elegir$r$ de los$n$ factores de los que tomaremos el$a$ (tomando el$b$ de los otros$n − r$ factores). Por Teorema 2.2.2.1, hay$\binom{n}{r}$ formas de hacer esta elección. Para el caso especial, comience por observar eso$(1 + x)^n = (x+ 1)^n$; luego tome$a = x$ y$b = 1$ en la fórmula general. Usa el hecho de que$1^{n−r} = 1$ para cualquier número entero$n$ y$r$.

Así, los valores$\binom{n}{r}$ son los coeficientes de los términos en el Teorema Binomial.

Definición: Coeficientes binomiales

Las expresiones de la forma se$\binom{n}{r}$ denominan coeficientes binomiales.

Hay algunas consecuencias agradables y simples del teorema binomial.

Corolario$\PageIndex{1}$

Para cualquier número natural$n$, tenemos

$$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$$

Prueba

Esta es una consecuencia inmediata de la sustitución$a = b = 1$ en el Teorema Binomial.

Corolario$\PageIndex{2}$

Para cualquier número natural$n$, tenemos

$$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$$

Prueba

Del caso especial del Teorema Binomial, tenemos

$$(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$$

Si diferenciamos ambos lados, obtenemos

$$n(1+x)^{n-1} = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^{r-1}$$

Sustituir$x = −1$ da el resultado (el lado izquierdo es cero).

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Utilice el Teorema Binomial para evaluar lo siguiente:

1)$\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}2^i$

2) el coeficiente de$a^2 b^3 c^2 d^4$ in$(a + b)^5 (c + d)^6$.

3) el coeficiente de$a^2 b^6 c^3$ in$(a + b)^5 (b + c)^6$.

4) el coeficiente de$a^3 b^2$ in$(a + b)^5 + (a + b^2)$.