3.3: El Teorema Binomial

Aquí hay un ejemplo algebraico en el que “\(n\)elegir\(r\)” surge de forma natural.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considerar:

\((a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\)

Si intentas multiplicar esto, debes elegir sistemáticamente el\(a\) o el\(b\) de cada uno de los cuatro factores, y asegurarte de hacer todas las combinaciones posibles de elecciones tarde o temprano.

Una forma de dividir esta tarea en trozos más pequeños es separarla en cinco partes, dependiendo de cuántos de los factores elija como\((4, 3, 2, 1\), o\(0)\). Cada vez que elijas\(4\) de las\(a\) s, obtendrás una sola contribución al coeficiente del término\(a^4\); cada vez que elijas\(3\) de las\(a\) s, obtendrás una sola contribución al término\(a^3b\); cada vez que elijas\(2\) de la\(a\) s, tú obtendrá una sola contribución al término\(a^2 b^2\); cada vez que elija\(1\) de los\(a\) s, obtendrá una sola contribución al término\(ab^3\); y cada vez que elija\(0\) de los\(a\) s, obtendrá una sola contribución al término\(b^4\). Es decir, el coeficiente de un término en particular\(a^i b^{4−i}\) será el número de formas en las que se puede elegir\(i\) de los factores de entre los que tomar un\(a\), tomando a\(b\) de los otros\(4 − i\) factores (dónde\(0 ≤ i ≤ 4)\).

Pasemos por cada uno de estos casos por separado. Por Teorema 3.1.1, hay\( \binom{4}{4} = 1\) manera de elegir cuatro factores de los que tomar como. (Claramente, debes elegir una a de cada uno de los cuatro factores.) Así, el coeficiente de\(a^4\) será\(1\).

Si quieres tomar a partir de tres de los cuatro factores, el Teorema 3.1.1 nos dice que hay\( \binom{4}{3} = 4\) formas en las que elegir los factores de los que tomas el\(a\) s. (Específicamente, estas cuatro formas consisten en tomar el\(b\) de cualquiera de los cuatro factores, y el como de los otros tres factores). Así, el coeficiente de\(a^3 b\) será\(4\).

Si quieres tomar como de dos de los cuatro factores, y bs de los otros dos, el Teorema 3.1.1 nos dice que hay\( \binom{4}{2} = 6\) formas en las que elegir los factores de los que tomas el as (luego tomar\(b\) s de los otros dos factores). Este es un ejemplo lo suficientemente pequeño como para que puedas elaborar fácilmente las seis formas a mano si lo deseas. Así, el coeficiente de\(a^2 b^2\) será\(6\).

Si quieres tomar a partir de uno de los cuatro factores, el Teorema 3.1.1 nos dice que hay\( \binom{4}{1} = 4\) formas en las que elegir los factores de los que tomas el\(a\) s. (Específicamente, estas cuatro formas consisten en tomar el\(a\) de cualquiera de los cuatro factores, y el\(b\) s del otro tres factores). Así, el coeficiente de\(ab^3\) será\(4\).

Finalmente, por el Teorema 3.1.1, hay\( \binom{4}{0} = 1\) manera de elegir cero factores de los que tomar\(a\) s. (Claramente, se debe elegir un\(b\) de cada uno de los cuatro factores.) Así, el coeficiente de\(b^4\) será\(1\).

Armando todo esto, vemos que

\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

De hecho, si dejamos los coeficientes en la forma original en la que los elaboramos, vemos que

\((a+b)^4 = \binom{4}{4} a^4 + \binom{4}{3} a^3b + \binom{4}{2} a^2b^2 + \binom{4}{1} ab^3 + \binom{4}{0} b^4\)

Este ejemplo se generaliza en un teorema significativo de las matemáticas:

Teorema\(\PageIndex{1}\): Binomial Theorem

Para cualquier\(a\) y\(b\), y cualquier número natural\(n\), tenemos

\[(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^r b^{n-r} \]

Un caso especial de esto es que

\[(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r \]

Prueba

Al igual que en el Ejemplo 2.2.3.1, vemos que el coeficiente de\(a^r b^{n−r}\) in\((a+b)^n\) será el número de formas de elegir\(r\) de los\(n\) factores de los que tomaremos el\(a\) (tomando el\(b\) de los otros\(n − r\) factores). Por Teorema 2.2.2.1, hay\(\binom{n}{r}\) formas de hacer esta elección. Para el caso especial, comience por observar eso\((1 + x)^n = (x+ 1)^n\); luego tome\(a = x\) y\(b = 1\) en la fórmula general. Usa el hecho de que\(1^{n−r} = 1\) para cualquier número entero\(n\) y\(r\).

Así, los valores\(\binom{n}{r}\) son los coeficientes de los términos en el Teorema Binomial.

Definición: Coeficientes binomiales

Las expresiones de la forma se\(\binom{n}{r}\) denominan coeficientes binomiales.

Hay algunas consecuencias agradables y simples del teorema binomial.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier número natural\(n\), tenemos

\[\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n\]

Prueba

Esta es una consecuencia inmediata de la sustitución\(a = b = 1\) en el Teorema Binomial.

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Para cualquier número natural\(n\), tenemos

\[\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n\]

Prueba

Del caso especial del Teorema Binomial, tenemos

\[(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r\]

Si diferenciamos ambos lados, obtenemos

\[n(1+x)^{n-1} = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^{r-1}\]

Sustituir\(x = −1\) da el resultado (el lado izquierdo es cero).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice el Teorema Binomial para evaluar lo siguiente:

1)\(\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}2^i\)

2) el coeficiente de\(a^2 b^3 c^2 d^4\) in\((a + b)^5 (c + d)^6\).

3) el coeficiente de\(a^2 b^6 c^3\) in\((a + b)^5 (b + c)^6\).

4) el coeficiente de\(a^3 b^2\) in\((a + b)^5 + (a + b^2)\).