8.1: Fracciones Parciales

Si se ve una función generadora\(\dfrac{1}{(1+ax^i)^j}\), podemos usar el Teorema del Binomio Generalizado para encontrar el coeficiente de\(x^r\). Pero, ¿qué podemos hacer si la función generadora parece\(\dfrac{1}{(a+bx+cx^2)}\), por ejemplo, o incluso expresiones más complicadas?

Una herramienta que puede ayudarnos a extraer coeficientes de algunas expresiones como esta, es el método de fracciones parciales.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que tenemos una función generadora

\(f(x) = \dfrac{1+x}{(1-2x)(2+x)}\)

¿Cómo podemos calcular el coeficiente de\(x^r\)?

Solución

Bueno, si pudiéramos separar los factores del denominador, sabríamos tratar cada uno por separado. De hecho, esto es exactamente lo que hacemos. Nosotros fijamos

\(f(x) = \dfrac{1+x}{(1-2x)(2+x)} = \dfrac{A}{1-2x} + \dfrac{B}{2+x}\)

Mientras trabajamos esto, verás que al resolver esto, terminamos con dos ecuaciones en las dos incógnitas\(A\) y\(B\), ¡que por lo tanto podemos resolver! Por lo que es posible “dividir” la función generadora original, en dos fracciones separadas, cada una de las cuales tiene como denominador uno de los factores del denominador original. Este es el método de las fracciones parciales.

Para resolver por\(A\) y\(B\), sumamos las fracciones\(\dfrac{A}{(1 − 2x)}\) y\(\dfrac{B}{(2 + x)}\) sobre un denominador común. Esto da

\(\dfrac{A(2 + x) + B(1 − 2x)}{(1 − 2x)(2 + x)} = f(x) = \dfrac{1+x}{(1-2x)(2+x)}\)

Claramente, esto obliga a los numeradores a ser iguales, por lo que

\(A(2 + x) + B(1 − 2x) = 1 + x\).

Ya que estos son iguales como polinomios en\(x\), los términos constantes deben ser iguales, y los coeficientes de\(x\) deben ser iguales, dándonos dos ecuaciones:\(2A + B = 1\) y\((A − 2B)x = x\), así\(A − 2B = 1\). Ahora hay muchas formas de resolver algebraicamente para\(A\) y\(B\); por ejemplo, la primera ecuación da\(B = 1 − 2A\); enchufar esto a la última ecuación da\(A − 2(1 − 2A) = 1\), entonces\(5A = 3\), así\(A = \dfrac{3}{5}\). Ahora

\(B = 1 − 2 \left( \dfrac{3}{5} \right) = \dfrac{−1}{5}\).

Por lo tanto, tenemos

\(f(x) = \dfrac{\dfrac{3}{5}}{1 − 2x} - \dfrac{\dfrac{1}{5}}{2+x} \)

Observe que el\(2 + x\) sigue siendo un poco problemático. Podemos usar el Teorema del Binomio Generalizado para elaborar coeficientes para algo que parezca\((1 + ax^i)^j\), pero lo necesitamos\(1\), y aquí en cambio tenemos un\(2\). Para hacer frente a esto, observamos que

\(2 + x = 2(1 + \left(\dfrac{1}{2} \right)x)\).

Por lo tanto,

\(f(x) = \dfrac{\dfrac{3}{5}}{1 − 2x} - \dfrac{\dfrac{1}{10}}{1+ \left( \dfrac{1}{2} \right) x} \)

Ahora vamos a expandir cada una de las dos summands por separado. Tenemos

\( \dfrac{3}{5} (1-2x)^{-1} = \dfrac{3}{5} (1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + . . .)\),

por lo que el coeficiente de\(x^r\) en esta parte es\(\left( \dfrac{3}{5} \right) 2^r\). Además,

\(\dfrac{-1}{10}(1+(\dfrac{1}{2})x)^{-1} = \dfrac{-1}{10} (1 - \dfrac{1}{2}x + (\dfrac{1}{2}x)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^3 + - ...) \),

por lo que el coeficiente de\(x^r\) en esta parte es\(\left( \dfrac{-1}{10} \right) (-1)^r \left( \dfrac{1}{2} \right)^r\).

Así, el coeficiente de\(x^r\) in\(f(x)\) es\(\left( \dfrac{3}{5} \right) (2)^r - \dfrac{-1}{10} \left( \dfrac{-1}{2} \right)^r\).

El método de fracciones parciales se puede aplicar a cualquier función generadora que tenga un denominador que se pueda factorizar en términos más simples. Sin embargo, los polinomios de grado\(3\) o superior pueden llegar a ser difíciles de factorizar, por lo que en su mayoría restringiremos nuestra atención a aplicar esto ya sea con denominadores que ya están factorizados, o con denominadores que tienen grado como máximo dos.

Hay un truco extra que debes tener en cuenta. Esto surge si el denominador es divisible por un cuadrado. Por ejemplo, si estamos buscando el coeficiente de\(x^r\) in

\(g(x) = \dfrac{1+x}{(1-2x)^2(2+x)}\)

entonces no tiene sentido separar todos los factores como antes, porque

\(g(x) = \dfrac{A}{1-2x} + \dfrac{B}{1-2x} +\dfrac{C}{2+x} = \dfrac{A+B}{1-2x} + \dfrac{C}{2+x} \)

y cuando sumemos esto, el denominador será\((1 − 2x)(2 + x)\) más que\((1 − 2x)^2 (2 + x)\). Esto se puede tratar de cualquiera de dos maneras. En primer lugar, se pueden incluir ambos\(1 − 2x\) y\((1 − 2x)^2\) como denominadores:

\(g(x) = \dfrac{A}{1-2x} + \dfrac{B}{(1-2x)^2} +\dfrac{C}{2+x}\).

La segunda opción es incluir sólo\((1 − 2x)^2\) como uno de los denominadores, pero incluir un\(x\) en el numerador correspondiente, además del término constante:

\(g(x) = \dfrac{Ax+B}{(1-2x)^2} + \dfrac{C}{2+x} \).

Cualquiera de estos métodos puede generalizarse de manera natural a casos en los que el denominador es divisible por algún poder superior.

Veremos más ejemplos de fracciones parciales aplicadas a situaciones específicas, así que dejaremos ahí la explicación por ahora.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el coeficiente de\(x^r\) en cada una de las siguientes funciones generadoras, utilizando el método de fracciones parciales y el Teorema del Binomial Generalizado.

1. \(\dfrac{1}{(1+2x)(2−x)}\)
2. \(\dfrac{x}{(1+x)^2(1−x)}\)
3. \(\dfrac{(1+2x)}{(1−2x)(2+x)(1+x)}\)