8.2: Factorización de polinomios

Debe estar familiarizado con la fórmula cuadrática, que nos permite factorizar cualquier polinomio de grado dos, en factores lineales. Específicamente, nos dice que las raíces de\(ax^2 + bx + c\) son

\[\dfrac{-b ± \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]

Observe que esto no nos dice inmediatamente cómo factorizar\(ax^2 + bx + c\), porque le falta un factor constante de a Entonces, si queremos factorizar\(ax^2 + bx + c\), en realidad obtenemos

\[ax^2 + bx + c = a \left(x - \left( \dfrac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \right) \right) \left(x - \left( \dfrac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \right) \right) \]

Recordemos que para poder utilizar el Teorema del Binomio Generalizado, necesitamos que el término constante sea\(1\). Si te sientes muy cómodo con las manipulaciones algebraicas, puedes usar la fórmula cuadrática para factorizar como arriba, y luego dividir cada factor por el valor apropiado para hacer el término constante\(1\). Esto puede crear una constante desordenada fuera de todo el asunto, y un coeficiente desordenado de\(x\) en cada término, pero si tienes cuidado, puedes obtener la respuesta correcta de esta manera.

Si tienes más confianza en memorizar otra fórmula (estrechamente relacionada con la fórmula cuadrática) para factorizar\(ax^2 + bx + c\), también puedes factorizar un polinomio cuadrático directamente en la forma que queramos, usando la siguiente fórmula:

\[ax^2 + bx + c = c \left(1 - \dfrac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2c} x \right) \left(1 - \dfrac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2c} x \right) \]

A veces un denominador ya será factorizado en la fórmula para una función generadora, pero cuando no lo es, se puede utilizar cualquiera de los métodos anteriores para factorizarlo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(3x^2 − 2x + 1\)Factorizar en factores lineales.

Solución

Usaremos la fórmula dada anteriormente. Tenemos\(a = 3\),\(b = −2\), y\(c = 1\). Entonces

\( \begin{equation} \begin{split} 3x^2 − 2x + 1&= \left(1 - \dfrac{2 + \sqrt{4 -12}}{2} x \right) \left(1 - \dfrac{2 - \sqrt{4 -12}}{2} x \right) \\ &= (1 − (1 + i\sqrt{2})x)(1 − (1 − i\sqrt{2})x). \end{split} \end{equation} \)

Siempre es una buena idea verificar tu resultado, multiplicando los factores hacia atrás.

Cuando los coeficientes en la factorización se vuelven feos (incluso complejos, como en el ejemplo anterior), es posible que encuentre difícil tratar el álgebra involucrada en elaborar los coeficientes. Trabajemos a través de un ejemplo de esto, usando la factorización que acabamos de completar.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el coeficiente de\(x^r\) in\(f(x)\), donde

\(f(x) = \dfrac{1}{3x^2 − 2x + 1} \)

Solución

Hemos determinado en el ejemplo anterior, que

\(3x^2 − 2x + 1 = (1 − (1 + i \sqrt{2})x)(1 − (1 − i \sqrt{2})x), \)

por lo que tenemos que resolver para\(A\) y\(B\), donde

\(\begin{equation} \begin{split} f(x)&= \dfrac{1}{3x^2 − 2x + 1} \\ &= \dfrac{A}{1 − (1 + i\sqrt{2})x} + \dfrac{B}{1 − (1 - i\sqrt{2})x} \\ &= \dfrac{A(1 − (1 − i\sqrt{2})x) + B(1 − (1 + i\sqrt{2})x)}{3x^2 − 2x + 1}, \end{split} \end{equation} \)

Así,

\(A(1 − (1 − i\sqrt{2})x) + B(1 − (1 + i\sqrt{2})x) = 1 + 0x\),

así el término constante da\(A+B = 1\), mientras que el coeficiente de\(x\) da\(A(1−i \sqrt{2})+B(1+i \sqrt{2}) = 0\). Sustituyendo\(B = 1 − A\) en esta última ecuación, da

\(A − i \sqrt{2}A + 1 + i \sqrt{2} − A − i \sqrt{2}A = 0\),

así\(1 + i \sqrt{2} = i2 \sqrt{2}A\). De ahí

\(A = \dfrac{1 + i \sqrt{2}}{i2 \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2 \sqrt{2}i} + \dfrac{1}{2} \)

Hacemos racional el denominador de la primera fracción, multiplicando numerador y denominador por\(\sqrt{2}i\), dando

\(A = -\dfrac{\sqrt{2}i}{4} + \dfrac{1}{2} \)

Ahora desde entonces\(B = 1 − A\), tenemos

\(B = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}i}{4}\)

Para hacer las cosas un poco más simples, vamos a reescribir\(A\) como\(\dfrac{(2 − \sqrt{2}i)}{4}\), y\(B = \dfrac{(2 + \sqrt{2}i)}{4}\).

Así tenemos

\(f(x) = \dfrac{\dfrac{(2 − \sqrt{2}i)}{4}}{1 − (1 + i \sqrt{2})x} + \dfrac{\dfrac{(2 + \sqrt{2}i)}{4}}{1 − (1 - i \sqrt{2})x} \)

Utilizando el Teorema del Binomio Generalizado y\(y = (1 + i \sqrt{2})x\), vemos que la primera fracción se expande como

\(\left[\left(\dfrac{(2 − \sqrt{2}i)}{4}\right)\right](1 + y + y^2 + y^3 + . . .)\),

y el coeficiente de\(x^r\) en este, será\(\left[\left(\dfrac{(2 − \sqrt{2}i)}{4}\right)\right](1 +i \sqrt{2})^r\). De igual manera, con\(y = (1−i \sqrt{2})x\), la segunda fracción se expande a medida que

\(\left[\left(\dfrac{(2 + \sqrt{2}i)}{4}\right)\right](1 + y + y^2 + y^3 + . . .)\),

y el coeficiente de\(x^r\) en este, será\(\left[\left(\dfrac{(2 + \sqrt{2}i)}{4}\right)\right](1 − i \sqrt{2})^r\).

Entonces el coeficiente de\(x^r\) in\(f(x)\) es

\(\left[\left(\dfrac{(2 − \sqrt{2}i)}{4}\right)\right](1 +i \sqrt{2})^r + \left[\left(\dfrac{(2 + \sqrt{2}i)}{4}\right)\right](1 − i \sqrt{2})^r\)

Se puede ver en este ejemplo que el álgebra puede ponerse feo, pero el proceso de encontrar el coeficiente de\(x^r\) es sin embargo sencillo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las funciones generadoras dadas, factorizar el denominador y utilizar el método de fracciones parciales para determinar el coeficiente de\(x^r\).

1. \(\dfrac{x}{x^2+5x−1}\)
2. \(\dfrac{2+x}{2x^2+x−1}\)
3. \(\dfrac{x}{x^2−3x+1}\)