18.4: Planos Proyectivos

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Joy Morris
University of Lethbridge

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Un plano proyectivo es otra estructura geométrica (estrechamente relacionada con planos afines). En un plano proyectivo finito, el conjunto de puntos (y por lo tanto el conjunto de líneas) debe ser finito. Al igual que los planos afines finitos, los planos proyectivos finitos pueden considerarse como un tipo especial de diseño.

Definición: Plano Proyectivo

Un plano proyectivo consiste en un conjunto de puntos, un conjunto de líneas y una relación de incidencia entre los puntos y las líneas. La relación de incidencia debe cumplir las siguientes condiciones:

para dos puntos cualesquiera, hay una línea única que es incidente con ambos;
para dos líneas cualesquiera, hay un punto único que es incidente con ambas;
existen cuatro puntos de tal manera que no hay tres incidentes con una sola línea.

Al igual que en el caso de los planos afines, el axioma final se ha desarrollado para evitar algunas situaciones triviales.

Piense en los puntos de un plano proyectivo finito como puntos de un diseño, y las líneas como bloques, estando un punto en un bloque si es incidente con la línea correspondiente. Entonces la primera condición sobre la relación de incidencia para un plano proyectivo garantiza que cada par de puntos aparezcan juntos en exactamente un bloque.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

El plano Fano es el plano proyectivo finito más conocido (y también el más pequeño). Aquí hay un dibujo de ello. Tiene$7$ puntos y$7$ líneas, una de las cuales es el círculo alrededor del medio.

$clipboard_eab7775bce5df7934ded97b40f0d78f29.png$

Ya has visto esta estructura en este curso; es la misma que el BIBD$(7, 3, 1)$ que apareció en el Ejemplo 17.1.1.

La siguiente es una conexión muy interesante. No vamos a tratar de presentar aquí la prueba, pero es una extensión natural del resultado similar que probamos para aviones afines.

Teorema$\PageIndex{1}$

Hay un plano proyectivo finito con$n + 1$ puntos en cada línea, si y sólo si hay un conjunto completo de$n − 1$ MOLS de orden$n$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

1) ¿Cada diseño$λ = 1$ tiene un plano proyectivo? Si no, ¿qué condición podría fallar?

2) ¿Cuáles (si los hay) de los diseños que hemos visto en este curso, son planos proyectivos?

3) A partir de nuestros resultados sobre MOLS, ¿para qué valores puedes estar seguro de que existe un plano proyectivo?

4) A partir de nuestros resultados sobre MOLS, ¿para qué valores puedes estar seguro de que no existe un plano proyectivo?

5) ¿Qué se puede determinar sobre los parámetros de un diseño que corresponde a un plano proyectivo?

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