3.1: Introducción

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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Un profesor decide amenizar la siguiente clase de combinatoria dando un premio de puerta. Cuando los alumnos entran a clase (a tiempo, porque llegar tarde es un poco insensible al resto de la clase), sacan un boleto de una caja. En cada boleto, se ha impreso un entero positivo. No se da información sobre el rango de números de boletos, aunque se garantiza que sean distintos. La caja de boletos fue agitada robustamente antes del sorteo, por lo que el contenido se mezcla a fondo, y la selección se realiza sin mirar dentro de la caja.

Después de que cada alumno haya seleccionado un boleto, el profesor anuncia que se otorgará un premio en efectivo de un dólar (esto es una universidad, ya sabes) al estudiante que tenga el boleto de menor número, de entre los sorteados.

¿Se debe otorgar el premio? Es decir, dado un conjunto de enteros positivos, en este caso el conjunto de números de boleto elegidos por los alumnos, ¿debe haber al menos uno? De manera más general, ¿es cierto que en cualquier conjunto de enteros positivos, siempre hay al menos uno? ¿Qué pasa si hay un aumento de inscripciones y hay infinitamente muchos estudiantes en la clase y cada uno tiene boleto?