3.2: Los enteros positivos están bien ordenados

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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Lo más probable es que hayas respondido a las preguntas planteadas en la Sección 3.1 con un entusiasta “sí”, en parte porque querías la oportunidad del dinero, pero más concretamente porque parece tan natural. Pero tal vez te sorprenda saber que este es realmente un tema mucho más complejo de lo que podrías pensar al principio. En el Apéndice B, se discute el desarrollo de los sistemas numéricos a partir de los Postulados de Peano. Si bien no vamos a dedicar mucho espacio en este capítulo a este tema, es importante saber que los enteros positivos vienen con “algún montaje requerido”. En particular, las operaciones básicas de suma y multiplicación no vienen de forma gratuita, sino que tienen que definirse.

Como subproducto de este desarrollo, obtenemos la siguiente propiedad fundamentalmente importante del conjunto\(\mathbb{N}\) de enteros positivos:

Principio 3.1: Propiedad bien ordenada de los enteros positivos

Cada conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo.

Una consecuencia inmediata de la propiedad bien ordenada es que el profesor de hecho tendrá que pagar a alguien un dólar, aunque haya infinitamente muchos estudiantes en la clase.