3.7: Definiciones inductivas

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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Aunque es principalmente una cuestión de gustos, las definiciones recursivas también pueden refundirse en un entorno inductivo. Como primer ejemplo, set\(1!=1\) y siempre que se\(k!\) haya definido, set\((k+1)! = (k+1)k!\).

Como segundo ejemplo, establecer

\(\displaystyle \sum_{i=1}^1 f(i) = f(1)\)y\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}f(i) = \sum_{i=1}^k f(i) + f(k+1)\)

En este segundo ejemplo, ya estamos usando una forma abreviada, ya que hemos omitido algunas frases en inglés. Pero el significado debe ser claro.

Ahora retrocedamos y demos un ejemplo que realmente sería parte del desarrollo de los sistemas numéricos. Supongamos que sabía todo lo que había que saber sobre la adición de enteros positivos pero nunca había escuchado nada sobre la multiplicación. Así es como se puede definir esta operación.

Dejar\(m\) ser un entero positivo. Luego establece

\(m \cdot 1 = m\)y\(m \cdot (k+1) = m \cdot k + m\)

Deberías ver que esto define la multiplicación pero no hace nada en términos de establecer propiedades tan familiares como las propiedades conmutativas y asociativas. Consulta algunos de los detalles en el Apéndice B.