8.3: Teorema del Binomio de Newton

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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En el Capítulo 2, discutimos el teorema binomial y vimos que la siguiente fórmula se mantiene para todos los enteros\(p \geq 1\):

\((1+x)^p = \displaystyle \sum_{n=0}^p \dbinom{p}{n} x^n\).

Debe darse cuenta rápidamente de que esta fórmula implica que la función generadora para el número de subconjuntos\(n\) -elemento de un conjunto de\(p\) elementos es\((1+x)^p\). El tema de generar funciones es lo que nos lleva a considerar lo que sucede si nos encontramos\((1+x)^p\) como una función generadora con p no un entero positivo. Resulta que, al extender adecuadamente la definición de los coeficientes binomiales a números reales, también podemos extender el teorema binomial de una manera originalmente descubierta por Sir Isaac Newton.

Hemos visto varias expresiones que se pueden utilizar para calcular los coeficientes binomiales, pero con el fin de extender\(C(p,k)\) a los valores reales de\(p\), utilizaremos la forma

\(\dbinom{p}{k} = \dfrac{P(p,k)}{k!}\),

recordando que hemos definido\(P(p,k)\) recursivamente como\(P(p,0)=1\) para todos los enteros\(p \geq 0\) y\(P(p,k)=pP(p−1,k−1)\) when\(p \geq k>0\) (\(k\)un entero). Observe aquí, sin embargo, que la expresión for tiene\(P(p,k)\) sentido para cualquier número real\(p\), siempre y cuando\(k\) sea un entero no negativo. Hacemos formal esta definición.

Definición 8.8

Para todos los números reales\(p\) y enteros no negativos\(k\), el número\(P(p,k)\) se define por

\(P(p,0) = 1\)para todos los números reales\(p\) y
\(P(p,k) = pP(p-1,k-1)\)para todos los números\(p\) y enteros reales\(k>0\).

(Observe que esta definición no requiere\(p \geq k\) como lo hicimos con los enteros.)

Ahora estamos preparados para extender la definición de coeficiente binomial para que\(C(p,k)\) se defina para todos los valores enteros reales\(p\) y no negativos de\(k\). Esto lo hacemos de la siguiente manera.

Definición 8.9

Para todos los números reales\(p\) y enteros no negativos\(k\),

\(\dbinom{p}{k} = \dfrac{P(p,k)}{k!}\).

Tenga en cuenta que\(P(p,k)=C(p,k)=0\) cuando\(p\) y\(k\) son enteros con\(0 \leq p<k\). Por otro lado, tenemos interesantes conceptos nuevos como\(P(−5,4)=(−5)(−6)(−7)(−8)\) y

\(\dbinom{-7/2}{5} = \dfrac{(-7/2)(-9/2)(-11/2)(-13/2)(-15/2)}{5!}\).

Con esta definición más general de coeficientes binomiales en la mano, estamos listos para declarar el Teorema Binomial de Newton para todos los números reales distintos de cero. La prueba de este teorema se puede encontrar en la mayoría de los libros de cálculo avanzados.

Teorema 8.10. Teorema del Binomio de Newton.

Para todos los reales\(p\) con\(p \neq 0\),

\((1+x)^p = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{p}{n}x^n\).

Tenga en cuenta que la forma general se reduce a la versión original del teorema binomial cuando\(p\) es un entero positivo.