8.4: Una aplicación del teorema binomial

En esta sección, vemos cómo se puede utilizar el Teorema Binomial de Newton para derivar otra identidad útil. Comenzamos por establecer una fórmula recursiva diferente a la utilizada en nuestra definición de la misma.\(P(p,k)\)

Lema 8.11.

Para cada uno\(k \geq 0, P(p,k+1)=P(p,k)(p−k)\).

Prueba

Cuando\(k=0\), ambas partes evalúan a\(p\). Ahora asuma validez cuando\(k=m\) para algún entero no negativo\(m\). Entonces

\(P(p,m+2) = pP(p-1,m+1)\)

\(=p[P(p-1,m)(p-1-m)]\)

\(=[pP(p-1,m)](p-1-m)\)

\(=P(p,m+1)[p-(m+1)]\).

Nuestro objetivo en esta sección será invocar el Teorema Binomial de Newton con el exponente\(p=−1/2\). Para hacerlo de manera significativa, necesitamos una expresión simplificada para\(C(−1/2,k)\), que proporciona el siguiente lema.

Lema 8.12.

Para cada uno\(k \geq 0\),\(\dbinom{-1/2}{k} = (-1)^k \dfrac{\binom{2k}{k}}{2^{2k}}\).

Prueba

Se procede por inducción en\(k\). Ambos lados se reducen a 1 cuando\(k=0\). Ahora asuma validez cuando\(k=m\) para algún entero no negativo\(m\). Entonces

\(\dbinom{-1/2}{m+1} = \dfrac{P(-1/2,m+1)}{(m+1)!} = \dfrac{P(-1/2,m)(-1/2-m)}{(m+1)m!}\)

\(= \dfrac{-1/2-m}{m+1} \dbinom{-1/2}{m} = (-1)\dfrac{2m+1}{2(m+1)}(-1)^m \dfrac{\binom{2m}{m}}{2^{2m}}\)

\(=(-1)^{m+1} \dfrac{1}{2^{2m}} \dfrac{(2m+2)(2m+1)}{(2m+2)2(m+1)} \dbinom{2m}{m} = (-1)^{m+1} \dfrac{\binom{2m+2}{m+2}}{2^{2m+2}}\)

Teorema 8.13

La función\(f(x)=(1−4x)^{−1/2}\) es la función generadora de la secuencia\(\{\binom{2n}{n}: n \geq 0\}\).

Prueba

Por el Teorema Binomial de Newton y el Lema 8.12, sabemos que

\((1-4x)^{-1/2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{-1/2}{n}(-4x)^n\)

\(= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 2^{2n} \dbinom{-1/2}{n}x^n\)

\(= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{2n}{n} x^n\).

Volveremos a esta función generadora en la Sección 9.7, donde jugará un papel en un problema de conteo aparentemente nuevo que en realidad es un problema que ya hemos estudiado disfrazados.

Ahora recordando la Proposición 8.3 sobre los coeficientes en el producto de dos funciones generadoras, podemos deducir el siguiente corolario del Teorema 8.13 al cuadrar la función\(f(x)=(1-4x)^{-1/2}\).

Corolario 8.14

Para todos\(n \geq 0\),

\(2^{2n} = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k} \dbinom{2n-2k}{n-k}\).