10.8: Ejercicios

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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1. Nuestra banda de siete (Alice, Bob, Carlos, Dave, Xing, Yolanda y Zori) son alumnos en una clase con una matrícula total de 35. El profesor elige a tres alumnos al azar para ir a la junta a trabajar desafiar problemas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que Yolanda sea elegida?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Yolanda sea elegida y Zori no lo sea?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que se elijan exactamente dos miembros del club?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los siete miembros del club sea elegido?

2. Bob no le dice a nadie en particular: “¿Sabías que la probabilidad de que consigas al menos un '7' en tres tiradas de un par de dados es ligeramente inferior a 1/2. Por otro lado, la probabilidad de que consigas al menos un '5' en seis tiradas de los dados es poco más de 1/2”. ¿Bob está en el blanco o sale a almorzar?

3. Considera la hilandera que se muestra en la Figura 10.1 al inicio del capítulo.

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un “5” en tres giros?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un “3” en tres giros?

c. Si sigues girando hasta obtener un “2” o un “5”, ¿cuál es la probabilidad de que primero obtengas un “2”?

d. Si recibe\(i\) dólares cuando el spinner se detiene en la región\(i\), ¿cuál es el valor esperado? Ya que tres está justo en medio de los posibles resultados, ¿es razonable pagar tres dólares para jugar a este juego?

4. Alice le propone a Bob el siguiente juego. Bob paga un dólar para jugar. Cincuenta bolas marcadas 1,2,... ,50 se colocan en un frasco grande, se agitan alrededor, y luego las saca una a una por Zori, quien lleva una venda en los ojos. El resultado es una permutación aleatoria σ de los enteros 1, 2,... ,50. Bob gana con un pago de dos dólares y cincuenta centavos si la permutación\(\sigma \) es un trastornamiento, es decir,\(\sigma (i) \neq i\) para todos\(i=1,2,…,n\). ¿Esto es un juego justo para Bob? Si no, ¿cómo se debe ajustar el pago para que sea justo?

5. Se construye una gráfica aleatoria con conjunto\(\{1,2,…,10\}\) de vértices utilizando el siguiente método. Por cada subconjunto\(\{i,j\}\) de dos elementos de\(\{1,2,…,10\}\), se lanza una moneda justa y el borde\(\{i,j\}\) luego pertenece a la gráfica cuando el resultado es “cabezas”. Para cada subconjunto de 3 elementos\(S⊆\{1,2,…,n\}\), deja\(E_S\) ser el evento que\(S\) es un subgrafo completo en nuestra gráfica aleatoria.

a. Explicar por qué\(P(E_S)=1/8\) para cada subconjunto de 3 elementos\(S\).

b. Explicar por qué\(E_S\) y\(E_T\) son independientes cuando\(|S∩T| \leq 1\).

c. Dejar\(S=\{1,2,3\}, T=\{2,3,4\}\) y\(U=\{3,4,5\}\). Demostrar que

\(P(E_S|E_T) = P(E_S|E_TE_U)\).

6. Diez canicas etiquetadas 1,2,... ,10 se colocan en un frasco grande y luego se agitan. Zori, con los ojos vendados, los saca de la jarra dos a la vez. Los jugadores pueden hacer apuestas en cuanto a si la suma de las dos canicas en un par es 11. Hay\(C(10,2)=45\) diferentes pares y exactamente 5 de estos pares suma a once.

Supongamos que Zori saca un par; se observan los resultados; luego devuelve las dos bolas al frasco y las diez bolas se agitan antes de tomar la siguiente muestra. Dado que la probabilidad de que la suma sea un “11” es 5/45=1/9, entonces sería justo pagar un dólar para jugar el juego si el pago de un “11” es de nueve dólares. De igual manera, el pago por una apuesta de cien dólares debería ser de novecientos dólares.

Ahora considera una forma alternativa de jugar el juego. Ahora Zori saca un par; se observan los resultados; y se dejan a un lado las canicas. A continuación, dibuja otro par de los ocho canicas restantes, seguido de un par seleccionado de los seis restantes, etc. Finalmente, el quinto par es justo el par que queda después de que se haya seleccionado el cuarto par. Ahora los jugadores pueden ser libres de apostar sobre el resultado de cualquiera o todas o solo algunas de las cinco rondas. Explique por qué cualquiera debería o nadie debería apostar en la quinta ronda. En consecuencia, se salta la última ronda y todas las canicas se devuelven al frasco y volvemos a empezar de nuevo.

También explica por qué un jugador observador puede ganar mucho dinero con una proporción de pago de nueve a uno. Ahora para un problema más desafiante, ¿cuál es la relación de pago mínima por encima de la cual un jugador tiene una estrategia ganadora?