Prefacio

Este libro es una introducción a la matemática combinatoria, también conocida como combinatoria. El libro se centra especialmente pero no exclusivamente en la parte de la combinatoria a la que los matemáticos se refieren como “contando”. El libro consiste casi en su totalidad de problemas. Algunos de los problemas están diseñados para llevarte a pensar en un concepto, otros están diseñados para ayudarte a entender un concepto y a exponer un teorema al respecto, mientras que otros te piden que pruebes el teorema. Otros problemas te dan la oportunidad de usar un teorema que has probado. De vez en cuando hay una discusión que reúne algunas de las cosas que has aprendido o introduce una nueva idea para que trabajes. Muchos de los problemas están diseñados para construir tu intuición sobre cómo funcionan las matemáticas combinatorias. Hay problemas que algunas personas resolverán rápidamente, y hay problemas que tomarán días de pensamiento para todos. Probablemente la mejor manera de usar este libro es trabajar en un problema hasta que sientas que no estás progresando y luego pasar al siguiente. Piensa en el problema que no pudiste conseguir como haces otras cosas. La siguiente oportunidad que tengas, discute el problema en el que estás estancado con otros miembros de la clase. A menudo todos sentirán que han llegado a callejones sin salida, pero cuando comiencen a comparar notas y a escucharse atentamente, verán más de un acercamiento al problema y podrán progresar algunos. De hecho, después de comparar notas puede darse cuenta de que hay más de una manera de interpretar el problema. En este caso tu primer paso debería ser pensar juntos cuál es el problema que realmente te está pidiendo que hagas. Es posible que hayas aprendido en la escuela que por cada problema que te den, hay un método que ya te han enseñado, y se supone que debes averiguar qué método aplica y aplicarlo. Ese no es el caso aquí. A partir de algunos ejemplos simplificados, descubrirás el método por ti mismo. Más adelante, es posible que reconozcas un patrón que sugiere que deberías intentar volver a usar este método.

El objetivo de aprender de este libro es que estás aprendiendo a descubrir ideas y métodos por ti mismo, no que estés aprendiendo a aplicar métodos de los que alguien más te ha hablado. Los problemas de este libro están diseñados para llevarte a descubrir por ti mismo y demostrar por ti mismo las principales ideas de las matemáticas combinatorias. Existe considerable evidencia de que esto lleva a un aprendizaje más profundo y a una mayor comprensión.

Verás que algunos de los problemas están marcados con balas. Esos son los problemas que siento que son esenciales para tener una comprensión de lo que viene después, ya sea que esté marcado o no por una bala. Los problemas con las balas son los problemas en los que se desarrollan las ideas principales del libro. Su instructor puede dejar fuera algunos de estos problemas porque planea no cubrir futuros problemas que dependen de ellos. Muchos problemas, de hecho secciones enteras, no están marcados de esta manera, porque utilizan una idea importante en lugar de desarrollarla. Algunos otros símbolos especiales se describen en lo que sigue; en la siguiente tabla aparece un resumen.

Algunos problemas están marcados con círculos abiertos. Esto indica que están diseñados para proporcionar motivación para, o una introducción a, los conceptos importantes, motivación con la que algunos alumnos ya pueden estar familiarizados. También verás que algunos problemas están marcados con flechas. Estos apuntan a problemas que me parecen particularmente interesantes. Algunos de ellos también son difíciles, pero no todos lo son. Algunos problemas que resumen ideas que han venido antes pero que no son realmente esenciales están marcados con un plus, y los problemas que son esenciales si quieres cubrir la sección en la que se encuentran o, quizás, la siguiente sección, están marcados con un punto (una pequeña bala). Si un problema es relevante para una sección mucho posterior de manera esencial, lo he marcado con un punto y una nota entre paréntesis que explica dónde será esencial. Por último, los problemas que me parecen inusualmente duros están marcados con un asterisco. Algunos los he marcado como duros sólo porque creo que son difíciles a la luz de lo que ha venido antes, no porque sean intrínsecamente difíciles. En particular, algunos de los problemas marcados como duros no parecerán tan duros si vuelves a ellos después de haber terminado más de los problemas.

Si estás tomando un curso, tu instructor elegirá problemas para que trabajes en función de los requisitos previos y metas del curso. Si estás leyendo el libro por tu cuenta, te recomiendo que pruebes todos los problemas en una sección que quieras cubrir. Intenta hacer los problemas con balas, pero por todos los medios no te restrinjas a ellas. A menudo un problema con viñetas tiene más sentido si has hecho algunos de los problemas motivacionales más fáciles que le preceden. Si, después de haberlo probado, quieres saltarte un problema sin una bala o círculo, no debes perderte mucho al no hacer ese problema. Además, si no encuentras interesantes los problemas en una sección sin balas, puedes saltarlos, entendiendo que ¡puedes estar saltando toda una rama de las matemáticas combinatorias! Y pase lo que pase, ¡lee el material textual que viene antes, entre e inmediatamente después de los problemas en los que estás trabajando!

Una de las desventajas de cómo aprendemos matemáticas en la secundaria es que muchos de nosotros llegamos a creer que si no podemos resolver un problema en diez o veinte minutos, entonces no podemos resolverlo en absoluto. Habrá problemas en este libro que llevan horas de duro pensamiento. Muchos de estos problemas fueron primero concebidos y resueltos por matemáticos profesionales, y pasaron días o semanas en ellos. ¿Cómo se puede esperar que los resuelva en absoluto entonces? Tienes un contexto en el que trabajar, y aunque algunos de los problemas son de extremo tan abierto que te adentras en ellos sin idea de la respuesta, el contexto y los ejemplos principales que los precedieron te dan una estructura con la que trabajar. Eso no significa que los consigas de inmediato, sino que encontrarás una verdadera sensación de satisfacción cuando veas lo que puedes entender con un pensamiento concentrado. Además, ¡puedes obtener pistas!

Algunas de las preguntas parecerán ser preguntas engañosas, especialmente cuando obtengas la respuesta. No están pensadas como preguntas engañosas en absoluto. En cambio están diseñados para que no te digan la respuesta de antemano. Por ejemplo la respuesta a una pregunta que comienza “Cuantos...” podría ser “ninguna”. O podría haber solo un ejemplo (o incluso ningún ejemplo) de un problema que te pida encontrar todos los ejemplos de algo. Entonces, cuando lees una pregunta, a menos que te diga directamente cuál es la respuesta y te pida que demuestres que es verdad, no esperes que la redacción del problema sugiera la respuesta. El libro no está diseñado de esta manera para ser cruel. Más bien, hay evidencia de que cuanto más abierta es una pregunta, más profundamente aprendes trabajando en ella. Si vas a hacer matemáticas más adelante en la vida, los problemas que te llegan del mundo real o de explorar un tema matemático van a ser problemas abiertos porque nadie los habrá hecho antes. Por lo tanto, trabajar ahora en problemas abiertos debería ayudar a prepararte para hacer matemáticas más adelante.

Deberías tratar de escribir respuestas a todos los problemas en los que trabajas. Si afirmas que algo es cierto, debes explicar por qué es cierto; es decir, debes probarlo. En algunos casos se introduce una idea antes de que tengas las herramientas para probarla, o la prueba de algo no agregará nada a tu comprensión. En tales problemas hay un comentario que le dice que no se moleste con una prueba. Cuando escribas un problema, recuerda que el instructor tiene que ser capaz de “obtener” tus ideas y entender exactamente lo que estás diciendo. Su instructor va a elegir algunas de sus soluciones para leer detenidamente y darle comentarios detallados. Cuando recibas estos comentarios, ¡deberías pensarlo detenidamente y luego escribir la solución nuevamente! Es posible que se le pida que no haga que alguien más lea sus soluciones a algunos de estos problemas hasta que su instructor lo haya hecho. Esto es para que el instructor pueda ofrecer ayuda que esté dirigida a sus necesidades. Sobre otros problemas es una buena idea buscar comentarios de otros alumnos. Una de las mejores formas de aprender a escribir con claridad es que alguien te señale dónde es difícil entender a qué te refieres. Lo crucial es dejar claro a tu lector que realmente quieres saber dónde puedes haber dejado algo fuera, hecho una declaración poco clara, o no haber apoyado una declaración con una prueba. A menudo es muy útil elegir personas que aún no se hayan convertido en un experto con los problemas, siempre y cuando se den cuenta de que te ayudará más para que te cuenten sobre lugares en tus soluciones que no entienden, ¡aunque piensen que es su problema y no el tuyo!

Mientras trabajas en un problema, piensa en por qué estás haciendo lo que estás haciendo. ¿Te está ayudando? Si tu enfoque actual no te parece correcto, trata de ver por qué. ¿Es esto un problema que puedes descomponer en problemas más simples? ¿Se ve una manera de hacer un ejemplo sencillo, incluso uno tonto, de lo que el problema te está pidiendo que hagas? Si un problema es pedirte que hagas algo por cada valor de un entero\(n\), entonces ¿qué pasa con valores simples de\(n\) like\(0\),\(1\), y\(2\)? No te preocupes por cometer errores; a menudo es encontrar errores lo que lleva a los matemáticos a sus mejores conocimientos. Sobre todo, no te preocupes si no puedes hacer un problema. Algunos problemas se dan en cuanto hay una técnica que has aprendido que podría ayudar a hacer ese problema. Más adelante puede haber otras técnicas que puedas traer de vuelta a ese problema para volver a intentarlo. Las notas han sido diseñadas de esta manera a propósito. Si por casualidad tienes un problema duro con el mínimo de herramientas, habrás logrado mucho. A medida que avanzas, verás que tus ideas aparecen de nuevo más adelante en otros problemas. Por otro lado, si no consigues el problema la primera vez, te va a fastidiar mientras trabajas en otras cosas, y cuando veas la idea de un viejo problema en un nuevo trabajo, sabrás que estás aprendiendo.

Hay bastantes conceptos que se desarrollan en este libro. Dado que la mayor parte del contenido intelectual está en los problemas, es natural que las definiciones de conceptos a menudo estén dentro de los problemas. Cuando te encuentras con un término desconocido en un problema, es probable que se haya definido antes. Búscalo en el índice, y con suerte (¡ojalá no sea necesaria realmente suerte!) podrás encontrar la definición.

Sobre todo, este libro está dedicado al principio de que hacer matemáticas es divertido. Siempre y cuando sepas que algunos de los problemas van a requerir más de un intento antes de acercarte a la idea principal, podrás relajarte y disfrutar de tus éxitos, sabiendo que a medida que trabajas cada vez más problemas y compartas más y más ideas, problemas que parecían intratables al principio se convierten en una fuente de satisfacción más adelante.

El desarrollo de este libro es apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias. Una parte esencial de este apoyo es un consejo asesor de profesores de una amplia variedad de instituciones que han realizado valiosas contribuciones. Ellos son Karen Collins, Wesleyan University, Marc Lipman, Indiana University/Purdue University, Fort Wayne, Elizabeth MacMahon, Lafayette College, Fred McMorris, Illinois Institute of Technology, Mark Miller, Marietta College, Rosa Orellana, Dartmouth College, Vic Reiner, Universidad de Minnesota, y Lou Shapiro, Universidad Howard. El diseño general y la mayoría de los problemas en el apéndice sobre funciones generadoras exponenciales se deben a los profesores Reiner y Shapiro. ¡Cualquier error o escritura confusa en ese apéndice se debe a mí! Creo que la junta ha logrado tanto hacer el libro más accesible como más interesante.