4.4: Generando Funciones (Ejercicios)

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\( → \; ∗\)1. ¿Cuál es la función generadora del número de formas de repartir\(k\) piezas de dulces de un suministro ilimitado de dulces idénticos a\(n\) los niños (donde\(n\) se fija) para que cada niño obtenga entre tres y seis piezas de caramelo (inclusive)? Usa el hecho de que\[\dfrac{(1 + x + x^2 + x^3)}{(1 − x)} = 1 − x^4\] para encontrar una fórmula para la cantidad de formas de repartir los dulces.

\(◦\)2.

a. al pagar un préstamo hipotecario con monto inicial\(A\), tasa de interés anual\(p\%\) sobre una base mensual con un pago mensual de\(m\), ¿qué recurrencia describe el monto adeudado después de n meses de pagos en términos del monto adeudado después de\(n − 1\) meses? Algunos detalles técnicos: Usted realiza el primer pago después de un mes. El monto de los intereses incluidos en tu pago mensual es\(\dfrac{.01p}{12}\). Esta tasa de interés se aplica al monto que adeuda inmediatamente después de realizar su último pago mensual.

b. Encontrar una fórmula para el monto adeudado después de\(n\) meses.

c. Encontrar una fórmula para el número de meses necesarios para llevar el monto adeudado a cero. Otro punto técnico: Si tuvieras que hacer el pago mensual estándar\(m\) en el último mes, en realidad podrías terminar adeudando una cantidad negativa de dinero. Por lo tanto, está bien si el resultado de su fórmula para el número de meses necesarios da un número no entero de meses. El banco simplemente redondearía al siguiente entero y ajustaría tu pago para que tu saldo salga a cero.

d. ¿Cuál debe ser el pago mensual para amortizar el préstamo durante un periodo de\(30\) años?

\( → \)3. Nosotros hemos dicho que para no negativos\(i\) y positivos\(n\) queremos definir\( \binom{−n}{i} \) que sea\( \binom{n+i−1}{i} \). Si queremos que la recurrencia Pascal sea válida, ¿cómo debemos definir\( \binom{−n}{−i} \) cuándo\(n\) y ambos\(i\) son positivos?

\( → \)4. Encontrar una relación de recurrencia para el número de formas de dividir un\(n\) -gon convexo en triángulos por medio de diagonales no intersecantes. ¿Cómo se relacionan estos números con los números catalanes?

\( → \)5. ¿Cómo\(\sum_{k=0}^{n} \binom{n−k}{k}\) se relaciona con los Números de Fibonacci?

6. Dejar\(m\) y\(n\) ser arreglado. Expresar la función generadora para el número de\(k\) multiconjuntos\(n\) -elemento de un conjunto de elementos -tal que ningún elemento aparezca más de\(m\) veces como cociente de dos polinomios. Utilice esta expresión para obtener una fórmula para el número de multiconjuntos\(k\) -element de un conjunto de\(n\) elementos -tal que ningún elemento aparezca más de\(m\) veces.

7. Un modelo natural pero sobre-simplificado para el crecimiento de un árbol es que toda la madera nueva crece a partir del crecimiento del año anterior y es proporcional a ella en cantidad. Para ser más precisos, supongamos que la duración (total) del nuevo crecimiento en un año determinado es la constante\(c\) por la duración (total) del nuevo crecimiento en el año anterior. Anote una recurrencia para la longitud total\(a_n\) de todas las ramas del árbol al final de la temporada de crecimiento\(n\). Encuentra la solución general a tu relación de recurrencia. Supongamos que comenzamos con un corte de un metro de madera nueva (del año anterior) que se ramifica y crece un total de dos metros de madera nueva en el primer año. ¿Cuál será la longitud total de todas las ramas del árbol al final de los\(n\) años?

\( → \)8. (Relevante al Apéndice C) Tenemos algunas sillas que vamos a pintar con pintura roja, blanca, azul, verde, amarilla y morada. Supongamos que podemos pintar cualquier número de sillas de rojo o blanco, que podemos pintar a lo sumo una silla azul, a lo sumo tres sillas de verde, sólo un número par de sillas de amarillo, y sólo un múltiplo de cuatro sillas púrpura. ¿De cuántas maneras podemos pintar\(n\) sillas?

9. ¿Cuál es la función generadora para el número de particiones de un entero en el que cada parte se usa en la mayoría de las\(m\) ocasiones? ¿Por qué es esta también la función generadora para particiones en las que las partes consecutivas (en una representación de lista decreciente) difieren\(m\) como máximo y la parte más pequeña también es como máximo\(m\)?