1.1: Notación de conjuntos y relaciones

Noción de un conjunto

El término conjunto es entendido intuitivamente por la mayoría de las personas como una colección de objetos que se denominan elementos (del conjunto). Este concepto es el punto de partida sobre el que vamos a construir ideas más complejas, tanto como en geometría donde los conceptos de punto y línea quedan indefinidos. Debido a que un conjunto es una noción tan simple, puede que te sorprenda saber que es uno de los conceptos más difíciles de definir para los matemáticos a su gusto. Por ejemplo, la descripción anterior no es una definición adecuada porque requiere la definición de una colección. (¿Cómo definirías “colección”?) Problemas aún más profundos surgen cuando se considera la posibilidad de que un conjunto pueda contenerse a sí mismo. Si bien estos problemas son de verdadera preocupación para algunos matemáticos, no serán de ninguna preocupación para nosotros. Nuestra primera preocupación será cómo describir un conjunto; es decir, ¿cómo describimos más convenientemente un conjunto y los elementos que hay en él? Si vamos a discutir un conjunto por algún período de tiempo, generalmente le damos un nombre en forma de letra mayúscula (u ocasionalmente algún otro símbolo). Al discutir conjunto\(A\text{,}\) si\(x\) es un elemento de\(A\text{,}\) entonces vamos a escribir\(x \in A\text{.}\) Por otro lado, si no\(x\) es un elemento de\(A\text{,}\) escribimos\(x \notin A\text{.}\) La forma más conveniente de describir los elementos de un conjunto variará dependiendo del conjunto específico.

Enumeración. Cuando se enumeran (o listan) los elementos de un conjunto es tradicional encerrarlos entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de dígitos binarios es\(\{0, 1\}\) y el conjunto de dígitos decimales es\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\text{.}\) La elección de un nombre para estos conjuntos sería arbitraria; pero sería “lógico” llamarlos\(B\) y\(D\text{,}\) respectivamente. La elección de un nombre de conjunto es muy similar a la elección de un nombre de identificador en la programación. Algunos conjuntos grandes se pueden enumerar sin enumerar realmente todos los elementos. Por ejemplo, las letras del alfabeto y los enteros del 1 al 100 podrían describirse como\(A = \{a, b, c,\ldots , x, y, z\}\text{,}\) y\(G = \{1, 2, \ldots , 99, 100\}\text{.}\) Los tres “puntos” consecutivos se denominan puntos suspensivos. Los usamos cuando está claro qué elementos están incluidos pero no listados. Una elipsis se usa en otras dos situaciones. Para enumerar los enteros positivos, escribiríamos\(\{1, 2, 3,\ldots \}\text{,}\) indicando que la lista continúa infinitamente. Si queremos enumerar un conjunto más general como los enteros entre 1 y\(n\text{,}\) donde\(n\) hay algún entero positivo indeterminado, podríamos escribir\(\{1,\ldots ,n\}\text{.}\)

Símbolos estándar. Los conjuntos que se encuentran con frecuencia suelen recibir símbolos que se reservan solo para ellos. Por ejemplo, ya que nos estaremos refiriendo a los enteros positivos a lo largo de este libro, usaremos el símbolo\(\mathbb{P}\) en lugar de escribir\(\{1, 2, 3, \ldots \}\text{.}\) Algunos de los otros conjuntos de números que usaremos con frecuencia son:

• \(\mathbb{P}\text{:}\)los enteros positivos,\(\{1, 2, 3, 4, \ldots \}\)
• \(\mathbb{N}\text{:}\)los números naturales,\(\{0, 1, 2, 3, \ldots \}\)
• \(\mathbb{Z}\text{:}\)los enteros,\(\{\ldots , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\ldots \}\)
• \(\mathbb{Q}\text{:}\)los números racionales
• \(\mathbb{R}\text{:}\)los números reales
• \(\mathbb{C}\text{:}\)los números complejos

Precaución: Algunas personas (¿aproximadamente la mitad del mundo?) llamar al conjunto\(\{1, 2, 3, 4, \ldots \}\) los números naturales. No estamos entre ellos. Tomamos el enfoque pitónico que supone que comenzar con cero es más natural que comenzar en uno.

Notación Set-Builder. Otra forma de describir conjuntos es usar la notación set-builder. Por ejemplo, podríamos definir los números racionales como

\ begin {ecuación*}\ mathbb {Q} =\ {a/b\ mid a, b\ in\ mathbb {Z}, b\ neq 0\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Tenga en cuenta que en la descripción de set-builder para los números racionales:

• \(a/b\)indica que un elemento típico del conjunto es una “fracción”.
• La línea vertical,\(\mid\text{,}\) se lee “tal que” o “dónde”, y se usa indistintamente con dos puntos.
• \(a, b\in \mathbb{Z}\)es una forma abreviada de decir\(a\) y\(b\) son enteros.
• Las comas en matemáticas se leen como “y”.

El hecho importante a tener en cuenta en la notación fija, o en cualquier notación matemática, es que se pretende que sea una ayuda, no un obstáculo. Esperamos que la notación nos ayude en una comprensión más completa de la colección de objetos en consideración y nos permita describirla de manera concisa. Sin embargo, la brevedad de la notación no es el objetivo de los conjuntos. Si prefieres escribir\(a\in \mathbb{Z}\) y\(b\in \mathbb{Z}\) en vez de hacerlo\(a, b\in \mathbb{Z}\text{,}\) debes hacerlo. Además, con frecuencia hay muchas formas diferentes, e igualmente buenas, de describir conjuntos. Por ejemplo,\(\{x\in \mathbb{R} \mid x^{2}-5x+6 =0\}\) y\(\{x \mid x \in \mathbb{R}, x^{2}-5x+6=0\}\) ambos describen el conjunto de soluciones\(\{2, 3\}\text{.}\)

Una definición adecuada de los números reales está fuera del alcance de este texto. Es suficiente pensar en los números reales como el conjunto de puntos en una recta numérica. Los números complejos se pueden definir usando la notación set-builder como\(\mathbb{C} = \{a + b i:a, b \in \mathbb{R}\}\text{,}\) donde\(i^2 = -1\text{.}\)

En la siguiente definición dejaremos indefinida la palabra “finito”.

Definición\(\PageIndex{1}\): Finite Set

Un conjunto es un conjunto finito si tiene un número finito de elementos. Cualquier conjunto que no sea finito es un conjunto infinito.

Definición \(\PageIndex{2}\): Cardinality

Dejar\(A\) ser un conjunto finito. El número de diferentes elementos en\(A\) se llama su cardinalidad. Se denota la cardinalidad de un conjunto\(A\) finito\(\lvert A \rvert\text{.}\)

Como veremos más adelante, existen distintas cardinalidades infinitas. No podemos hacer esta distinción hasta el Capítulo 7, por lo que restringiremos la cardinalidad a conjuntos finitos por ahora.

Subconjuntos

Definición \(\PageIndex{3}\): Subset

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Decimos que\(A\) es un subconjunto de\(B\) si y solo si cada elemento de\(A\) es un elemento de\(B\text{.}\) Escribimos\(A \subseteq B\) para denotar el hecho de que\(A\) es un subconjunto de\(B\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Subsets

1. Si\(A = \{3, 5, 8\}\) y\(B = \{5, 8, 3, 2, 6\}\text{,}\) entonces\(A\subseteq B\text{.}\)
2. \(\displaystyle \mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}\)
3. Si\(S = \{3, 5, 8\}\) y\(T = \{5, 3, 8\}\text{,}\) entonces\(S \subseteq T\) y\(T \subseteq S\text{.}\)

Definición\(\PageIndex{4}\): Set Equality

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Decimos que\(A\) es igual a\(B\) (notación\(A = B\)) si y solo si cada elemento de\(A\) es un elemento de\(B\) y a la inversa cada elemento de\(B\) es un elemento de\(A\text{;}\) eso es,\(A \subseteq B\) y\(B \subseteq A\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Examples Illustrating Set Equality

1. En Ejemplo\(\PageIndex{1}\),\(S = T\text{.}\) Tenga en cuenta que el orden de los elementos no es importante.
2. El número de veces que aparece un elemento en una enumeración no afecta a un conjunto. Por ejemplo, si\(A = \{1, 5, 3, 5\}\) y\(B = \{1, 5, 3\}\text{,}\) luego\(A = B\text{.}\) Advertencia a lectores de otros textos: Algunos libros introducen el concepto de un multiconjunto, en el que importa el número de ocurrencias de un elemento.

Algunos comentarios están en orden sobre la expresión “si y solo si” como se usa en nuestras definiciones. Esta expresión significa “es equivalente a decir”, o más exactamente, que la palabra (o concepto) que se define puede en cualquier momento ser reemplazada por la expresión definitoria. Por el contrario, la expresión que define la palabra (o concepto) puede ser reemplazada por la palabra.

Ocasionalmente es necesario discutir el conjunto que no contiene elementos, es decir, el conjunto vacío, que se denota por\(\emptyset\). Este conjunto también se llama el conjunto nulo.

Está claro, esperamos, a partir de la definición de un subconjunto, que dado cualquier conjunto que\(A\) tengamos\(A\subseteq A\) y\(\emptyset \subseteq A\text{.}\) si no\(A\) está vacío, entonces\(A\) se llama un subconjunto impropio de\(A\text{.}\) Todos los demás subconjuntos de\(A\text{,}\) incluyendo el conjunto vacío, se llaman subconjuntos apropiados de\(A\text{.}\) El conjunto vacío es un subconjunto incorrecto de sí mismo.

Nota\(\PageIndex{1}\)

No todos están de acuerdo sobre si el conjunto vacío es un subconjunto apropiado de cualquier conjunto. De hecho, ediciones anteriores de este libro se pusieron del lado de quienes consideraban el conjunto vacío como un subconjunto impropio. No obstante, nos inclinamos ante el consenso emergente en este momento.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Enumere cuatro elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:

1. \(\displaystyle \{k \in \mathbb{P} \mid {k - 1} \textrm{ is a multiple of 7}\}\)
2. \(\displaystyle \{x \mid x \textrm{ is a fruit and its skin is normally eaten}\}\)
3. \(\displaystyle \{x \in \mathbb{Q}\mid \frac{1}{x} \in \mathbb{Z}\}\)
4. \(\displaystyle \{2n \mid n \in \mathbb{Z}, n < 0 \}\)
5. \(\displaystyle \{s \mid s = 1 + 2 + \cdots + n \textrm{ for some } n \in \mathbb{P}\}\)

Contestar

Estas respuestas no son únicas.

1. \(\displaystyle 8, 15, 22, 29\)
2. \(\displaystyle \textrm{apple, pear, peach, plum}\)
3. \(\displaystyle 1/2, 1/3, 1/4, 1/5\)
4. \(\displaystyle -8, -6, -4, -2\)
5. \(\displaystyle 6, 10, 15, 21\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Enumere todos los elementos de los siguientes conjuntos:

1. \(\displaystyle \{\frac{1}{n} \mid n \in \{3,4,5,6\}\}\)
2. \(\displaystyle \{\alpha \in \textrm{ the alphabet } \mid \alpha \textrm{ precedes F}\}\)
3. \(\displaystyle \{x \in \mathbb{Z} \mid x = x+1 \}\)
4. \(\displaystyle \{n^2 \mid n = -2, -1, 0, 1, 2\}\)
5. \(\displaystyle \{n \in \mathbb{P} \mid n \textrm{ is a factor of 24 }\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Describa los siguientes conjuntos usando la notación set-builder.

1. \(\displaystyle \{ 5, 7, 9, \dots , 77, 79\}\)
2. los números racionales que están estrictamente entre\(-1\) y\(1\)
3. los enteros pares
4. \(\displaystyle \{-18, -9,0,9, 18,27, \dots \}\)

Contestar

1. \(\displaystyle \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}, 2 \leqslant k \leqslant 39\}\)
2. \(\displaystyle \{x \in \mathbb{Q}\mid -1 < x < 1\}\)
3. \(\displaystyle \{2n\mid n \in \mathbb{Z}\}\)
4. \(\displaystyle \{9n\mid n \in \mathbb{Z}, -2 \leq n\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice la notación set-builder para describir los siguientes conjuntos:

1. \(\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
2. \(\displaystyle \{1, 10, 100, 1000, 10000\}\)
3. \(\displaystyle \{1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . .\}\)
4. \(\displaystyle \{0\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(A = \{0, 2, 3\}\text{,}\)\(B = \{2, 3\}\text{,}\) y\(C = \{1, 5, 9\}\text{.}\) Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Da razones para tus respuestas.

1. \(\displaystyle 3 \in A\)
2. \(\displaystyle \{3\} \in A\)
3. \(\displaystyle \{3\} \subseteq A\)
4. \(\displaystyle B\subseteq A\)
5. \(\displaystyle A\subseteq B\)
6. \(\displaystyle \emptyset \subseteq C\)
7. \(\displaystyle \emptyset \in A\)
8. \(\displaystyle A\subseteq A\)

Contestar

1. Cierto
2. Falso
3. Cierto
4. Cierto
5. Falso
6. Cierto
7. Falso
8. Cierto

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una razón por la que dejamos la definición de un conjunto vaga es la Paradoja de Russell. Muchos libros de matemáticas y lógica contienen un relato de esta paradoja. Dos referencias son [41] y [36]. Encuentra una de esas referencias y léala.