4.4: El principio de dualidad

En la Sección 4.2, observamos que cada una de las Tablas 4.2.1 etiquetadas del 1 al 9 tenía un análogo\(1^{\prime}\) a través de\(9^{\prime}\text{.}\) Notamos que cada una de las leyes en una columna se puede obtener de la ley correspondiente en la otra columna reemplazando\(\cup\) por\(\cap \text{,}\)\(\cap \) por\(\cup \text{,}\)\(\emptyset \)\(U\text{,}\)\(U\) por\(\emptyset\text{,}\) y dejando el complemento sin cambios.

Definición\(\PageIndex{1}\): Duality Principle for Sets

\(S\)Sea cualquier identidad que involucre conjuntos y las operaciones complementan, intersección y unión. Si\(S*\) se obtiene de\(S\) haciendo las sustituciones\(\cup \to \cap\text{,}\)\(\cap \to \cup\text{,}\)\(\emptyset \to U\), y\(U\to \emptyset\text{,}\) entonces la declaración también\(S*\) es verdadera y se llama el dual de la declaración\(S\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Example of a Dual

El doble de\((A \cap B) \cup \left(A \cap B^c \right) = A\) es\((A\cup B)\cap \left(A\cup B^c\right)=A\text{.}\)

No se debe subestimar la importancia de este concepto. Nos da un segundo conjunto completo de identidades, teoremas y conceptos. Por ejemplo, podemos considerar la forma dual de minsets y minset normal para obtener lo que se llama maxsets y maxset forma normal.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Indicar la dualidad de cada una de las siguientes:

1. \(A \cup (B \cap A) = A\text{.}\)
2. \(\displaystyle A \cup \left(\left(B^c \cup A\right) \cap B\right)^c = U\)
3. \(\displaystyle \left(A \cup B^c\right)^c \cap B =A^c\cap B\)

Contestar

1. \(\displaystyle A\cap (B\cup A)=A\)
2. \(\displaystyle A \cap \left(\left(B^c\cap A\right)\cup B\right)^c=\emptyset\)
3. \(\displaystyle \left(A\cap B^c\right)^c\cup B=A^c\cup B\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Examine la Tabla 3.4.2 y luego escriba una descripción del principio de dualidad para la lógica.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Escribe el dual de cada uno de los siguientes:

1. \(\displaystyle p\lor \neg ((\neg q\lor p)\land q)\Leftrightarrow 1\)
2. \((\neg (p \land (\neg q ))) \lor q\Leftrightarrow (\neg p \lor q)\text{.}\)

Contestar

1. \(\displaystyle (p \land \neg (\neg q \land p)\lor q) \Leftrightarrow 0\)
2. \(\displaystyle (\neg (p \lor (\neg q)))\land q \Leftrightarrow ((\neg p) \land q)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilizar el principio de dualidad y la definición de minset para escribir la definición de maxset.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(A = \{1,2, 3,4, 5, 6\}\) y dejar\(B_1 = \{1, 3, 5\}\) y\(B _2 = \{1,2, 3\}\text{.}\)

1. Encuentra los maxsets generados por\(B_1\) y\(B_2\text{.}\) Note el conjunto de maxsets no constituye una partición de ¿\(A\text{.}\)Puedes explicar por qué?
2. Escribe la definición de maxset forma normal.
3. Repita el Ejercicio 4.3.4 para maxsets.

Contestar

Los maxsets son:

• \(\displaystyle B_1\cup B_2=\{1,2,3,5\}\)
• \(\displaystyle B_1\cup B_2{}^c=\{1,3,4,5,6\}\)
• \(\displaystyle B_1{}^c\cup B_2=\{1,2,3,4,6\}\)
• \(\displaystyle B_1{}^c\cup B_2{}^c=\{2,4,5,6\}\)

No forman una partición de\(A\) ya que no es cierto que la intersección de dos cualesquiera de ellos esté vacía. Se dice que un conjunto está en forma normal maxset cuando se expresa como la intersección de distintos maxsets no vacíos o es el conjunto universal\(U\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

¿Cuál es el dual de la expresión en el Ejercicio 4.1.5?