5.2: Tipos especiales de matrices
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Matrices diagonales
Ya hemos investigado, en ejercicios del apartado anterior, un tipo especial de matriz. Esa fue la matriz cero, y encontró que se comporta en álgebra matricial de manera análoga al número real 0; es decir, como la identidad aditiva. Ahora investigaremos las propiedades de algunas otras matrices especiales.
Definición5.2.1: Diagonal Matrix
Una matriz cuadrada D se llama matriz diagonal sidij = 0 siempre quei≠j.
Ejemplo5.2.1: Some Diagonal Matrices
A=(100020005),B=(30000000−5),yI=(100010001) son todas matrices diagonales.
Matriz de Identidad y Matriz Inversa
En el ejemplo anterior, la matriz3×3 diagonalI cuyas entradas diagonales son todas 1's tiene la propiedad distintiva que para cualquier otra3×3 matrizA tenemosAI=IA=A. Por ejemplo:
Ejemplo5.2.2: Multiplying by the Identity Matrix
SiA=(12567−23−30), entoncesAI=(12567−23−30) yIA=(12567−23−30).
Es decir, la matrizI se comporta en álgebra matricial como el número real 1; es decir, como una identidad multiplicativa. En álgebra matricial, la matrizI se llama simplemente la matriz de identidad. Convénzate de que siA es algunan×n matrizAI=IA=A.
Definición 5.2.2: Identity Matrix
La matrizn×n diagonalIn cuyos componentes diagonales son todos 1 se llama matriz de identidad. Si el contexto es claro, simplemente usamosI.
En el conjunto de números reales recordamos que, dado un número real distinto de cerox, existe un número realy tal quexy=yx=1. Sabemos que los números reales se conmutan bajo multiplicación para que las dos ecuaciones puedan resumirse comoxy=1. Además sabemos quey=x−1=1x. ¿Tenemos un análogo situación enMn×n(R)? ¿Podemos definir el inverso multiplicativo de unan×n matrizA? Parece natural imitar la definición de inverso multiplicativo en los números reales?
Definición 5.2.3: Matrix Inverse
ADéjese ser unan×n matriz. Si existe unan×n matrizB tal queAB=BA=I, entoncesB es una inversa multiplicativa deA (llamada simplemente una inversa deA) y se denota porA−1
Cuando estamos haciendo cálculos que involucran matrices, sería útil saber que cuando encontramosA−1, la respuesta que obtenemos es la única inversa de la matriz dada. Esto nos permitiría referirnos a la inversa de una matriz. Nos abstuvimos de decir eso en la definición, pero el teorema de abajo lo justifica.
Observación: Quienes no estén familiarizados con las leyes del álgebra matricial deben regresar a la siguiente prueba después de haberse familiarizado con las Leyes del Álgebra Matricial en la Sección 5.5.
Teorema5.2.1: Inverses are Unique
El inverso de unan×n matriz A, cuando existe, es único.
- Prueba
-
ADéjese ser unan×n matriz. Asumir al contrario, queA tiene dos inversos (diferentes), digamosB yC. Entonces
\ begin {ecuación*}\ begin {split} B &= B I\ quad\ textrm {Propiedad de identidad de} I\\ & =B (A C)\ quad\ textrm {Suposición de que} C\ textrm {es una inversa de} A\\ & = (B A) C\ quad\ textrm {Asociatividad de multiplicación matricial}\\ & = I C\ quad\ textrm m {Suposición de que} B\ textrm {es una inversa de} A\\ & = C\ quad\ textrm {propiedad de identidad de} I\ end {split}\ end {equation*}
VamosA=(2003). ¿Qué esA−1? Sin demasiada dificultad, por ensayo y error, eso lo determinamosA−1=(120013). Esto podría llevarnos a adivinar que la inversa se encuentra tomando el recíproco de todas las entradas distintas de cero de una matriz. ¡Ay, no es tan fácil!
SiA=(12−35), la “regla recíproca” nos diría que lo inverso deA esB=(112−1315). Intenta computarAB y verás que no obtienes la matriz de identidad. Entonces, qué esA−1? Para entender más completamente la noción de lo inverso de una matriz, sería beneficioso tener una fórmula que nos permitiera calcular la inversa de al menos una2×2 matriz. Para ello, se introduce la definición del determinante de una2×2 matriz.
Definición 5.2.4: Determinant of a 2 by 2 Matrix
DejarA=(abcd). El determinante deA es el númerodetA=ad−bc.
Además de la notacióndetA, común para el determinante de la matrizA es|A|. Esto es particularmente común al escribir toda la matriz, cuyo caso escribiríamos|abcd| para el determinante de la2×2 matriz general.
Ejemplo5.2.3: Some Determinants of Two by Two Matrices
SiA=(12−35) entoncesdetA=1⋅5−2⋅(−3)=11. SiB=(1224) entoncesdetB=1⋅4−2⋅2=0.
Teorema5.2.2: Inverse of 2 by 2 Matrix
LetA=(abcd). SidetA≠0, entoncesA−1=1detA(d−b−ca).
- Prueba
-
Ver Ejercicio5.2.4 al final de esta sección.
Ejemplo5.2.4: Finding Inverses
¿Podemos encontrar los inversos de las matrices en Example5.2.3? SiA=(12−35) entonces
\ begin {ecuación*} A^ {-1} =\ frac {1} {11}\ left (\ begin {array} {cc} 5 & -2\\ 3 & 1\\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {cc}\ frac {5} {11} & -\ frac {2} {11}\\ frac {3} {11} &\ frac {1} {11}\\\ end {array}\ right)\ end {ecuación*}
El lector debe verificar queAA−1=A−1A=I.
La segunda matriz,B, tiene un determinante igual a cero. Si intentáramos aplicar la fórmula en Teorema5.2.2, estaríamos dividiendo por cero. Por esta razón, la fórmula no se puede aplicar y de hechoB−1 no existe.
Observaciones:
- En general, siA es una2×2 matriz y sidetA=0, entoncesA−1 no existe.
- Sen≥3 puede derivar una fórmula para la inversa den×n matrices que también implicadetA. De ahí que, en general, si el determinante de una matriz es cero, la matriz no tiene una inversa. Sin embargo, la fórmula para incluso una3×3 matriz es muy larga y no es la forma más eficiente de calcular la inversa de una matriz.
- En el Capítulo 12 desarrollaremos una técnica para calcular la inversa de una matriz de orden superior, si existe.
- La inversión matricial es lo primero en la jerarquía de las operaciones matriciales; por lo tanto,AB−1 esA(B−1).
Ejercicios
Ejercicio5.2.1
Para las matrices dadasA encontrarA−1 si existe y verificar queAA−1=A−1A=I. SiA−1 no existe explicar por qué.
- A=(1321)
- A=(6−38−4)
- A=(1−301)
- A=(1001)
- Usa la definición de la inversa de una matriz para encontrarA−1:A=(300012000−5)
- Contestar
-
- (−1/53/52/5−1/5)
- No existe inversa.
- (1301)
- A−1=A
- (1/30002000−1/5)
Ejercicio5.2.2
Para las matrices dadasA encontrarA−1 si existe y verificar queAA−1=A−1A=I. SiA−1 no existe explicar por qué.
- A=(2−1−12)
- A=(0102)
- A=(1c01)
- A=(abba),donde|a|≠|b|.
Ejercicio5.2.3
- DejarA=(2314) yB=(3−321). verificar que(AB)−1=B−1A−1.
- DejarA yB ser matricesn×n invertibles. Demostrar(AB)−1=B−1A−1. eso ¿Por qué el lado derecho de la declaración anterior está escrito “al revés”? ¿Esto es necesario? Pista: Usar teorema5.2.1
- Contestar
-
Que A y B seann por matricesn invertibles.
\ begin {equation*}\ begin {split}\ left (B^ {-1} A^ {-1}\ right) (AB) &=\ left (B^ {-1}\ right)\ left (A^ {-1} (AB)\ right)\\ &=\ left (B^ {-1}\ right)\ left (\ left (A^ {-1} A\ right)\ right)\ &= (\ izquierda (B^ {-1}\ derecha) I B)\\ &=B^ {-1} (B)\\ &=I\ end {split}\ end {ecuación*}
Del mismo modo,(AB)(B−1A−1)=I.
Por teorema5.2.1,B−1A−1 es la única inversa deAB. SiA−1B−1, intentáramos invertirAB con no tendríamos éxito ya que no podemos reorganizar el orden de las matrices.
Ejercicio5.2.4
LetA=(abcd). Derivar la fórmula paraA−1.
Ejercicio5.2.5: Linearity of Determinants
- DejarA yB ser matrices de 2 por 2. Demostrar quedet(AB)=(detA)(detB).
- Se puede demostrar que la afirmación en la parte (a) es cierta para todas lasn×n matrices. DejarA ser cualquiern×n matriz invertible. Demostrar esodet(A−1)=(detA)−1. Nota: El determinante de la matriz de identidadIn es 1 para todosn.
- Verificar que la ecuación en la parte (b) sea verdadera para la matriz en el Ejercicio5.2.1 (a) de esta sección.
- Contestar
-
1=detI=det(AA−1)=detA detA−1.Ahora soluciona paradetA−1.
Ejercicio5.2.6
Demostrar por inducción que paran≥1,(a00b)n=(an00bn).
Ejercicio5.2.7
Utilice los supuestos en Ejercicio5.2.5 para probar por inducción que sin≥1,det(An)=(detA)n.
- Contestar
-
Bases:(n=1):detA1=detA=(detA)1
Inducción: AsumirdetAn=(detA)n para algunosn≥1.
\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ det A^ {n+1} & =\ det\ left (A^nA\ right)\ quad\ textrm {por la definición de exponentes}\\ &=\ det\ left (A^n\ right)\ det (A)\ quad\ textrm {por ejercicio 5}\\ &= (det A) ^n (\ det A)\ quad\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ &= (\ det A) ^ {n+1}\ end {split}\ end {equation*}
Ejercicio5.2.8
Probar: Si el determinante de una matrizA es cero, entoncesA no tiene una inversa. Pista: Utilizar el método indirecto de prueba y ejercicio5.2.5.
Ejercicio5.2.9
- A,B, and DDejen sern×n matrices. Supongamos queB es invertible. SiA=BDB−1, prueba por inducción queAm=BDmB−1 es cierto param≥1.
- Dado queA=(−815−611)=B(1002)B−1 dondeB=(5332) lo que esA10?
- Contestar
-
- AsumirA=BDB−1
Base(m=1)::A1=A=BD1B−1 se da.
Inducción: Supongamos que para algún número entero positivom,Am=BDmB−1
Am+1=AmA=(BDmB−1)(BDB−1)by the induction hypothesis=(BDm(B−1B)(DB−1)by associativity=BDmDB−1by the definition of inverse=BDm+1B−1◻ - A10=BD10B−1=(−920615345−613810231)
- AsumirA=BDB−1