Processing math: 100%
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

5.2: Tipos especiales de matrices

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Matrices diagonales

Ya hemos investigado, en ejercicios del apartado anterior, un tipo especial de matriz. Esa fue la matriz cero, y encontró que se comporta en álgebra matricial de manera análoga al número real 0; es decir, como la identidad aditiva. Ahora investigaremos las propiedades de algunas otras matrices especiales.

Definición5.2.1: Diagonal Matrix

Una matriz cuadrada D se llama matriz diagonal sidij = 0 siempre queij.

Ejemplo5.2.1: Some Diagonal Matrices

A=(100020005),B=(300000005),yI=(100010001) son todas matrices diagonales.

Matriz de Identidad y Matriz Inversa

En el ejemplo anterior, la matriz3×3 diagonalI cuyas entradas diagonales son todas 1's tiene la propiedad distintiva que para cualquier otra3×3 matrizA tenemosAI=IA=A. Por ejemplo:

Ejemplo5.2.2: Multiplying by the Identity Matrix

SiA=(125672330), entoncesAI=(125672330) yIA=(125672330).

Es decir, la matrizI se comporta en álgebra matricial como el número real 1; es decir, como una identidad multiplicativa. En álgebra matricial, la matrizI se llama simplemente la matriz de identidad. Convénzate de que siA es algunan×n matrizAI=IA=A.

Definición 5.2.2: Identity Matrix

La matrizn×n diagonalIn cuyos componentes diagonales son todos 1 se llama matriz de identidad. Si el contexto es claro, simplemente usamosI.

En el conjunto de números reales recordamos que, dado un número real distinto de cerox, existe un número realy tal quexy=yx=1. Sabemos que los números reales se conmutan bajo multiplicación para que las dos ecuaciones puedan resumirse comoxy=1. Además sabemos quey=x1=1x. ¿Tenemos un análogo situación enMn×n(R)? ¿Podemos definir el inverso multiplicativo de unan×n matrizA? Parece natural imitar la definición de inverso multiplicativo en los números reales?

Definición 5.2.3: Matrix Inverse

ADéjese ser unan×n matriz. Si existe unan×n matrizB tal queAB=BA=I, entoncesB es una inversa multiplicativa deA (llamada simplemente una inversa deA) y se denota porA1

Cuando estamos haciendo cálculos que involucran matrices, sería útil saber que cuando encontramosA1, la respuesta que obtenemos es la única inversa de la matriz dada. Esto nos permitiría referirnos a la inversa de una matriz. Nos abstuvimos de decir eso en la definición, pero el teorema de abajo lo justifica.

Observación: Quienes no estén familiarizados con las leyes del álgebra matricial deben regresar a la siguiente prueba después de haberse familiarizado con las Leyes del Álgebra Matricial en la Sección 5.5.

Teorema5.2.1: Inverses are Unique

El inverso de unan×n matriz A, cuando existe, es único.

Prueba

ADéjese ser unan×n matriz. Asumir al contrario, queA tiene dos inversos (diferentes), digamosB yC. Entonces

\ begin {ecuación*}\ begin {split} B &= B I\ quad\ textrm {Propiedad de identidad de} I\\ & =B (A C)\ quad\ textrm {Suposición de que} C\ textrm {es una inversa de} A\\ & = (B A) C\ quad\ textrm {Asociatividad de multiplicación matricial}\\ & = I C\ quad\ textrm m {Suposición de que} B\ textrm {es una inversa de} A\\ & = C\ quad\ textrm {propiedad de identidad de} I\ end {split}\ end {equation*}

VamosA=(2003). ¿Qué esA1? Sin demasiada dificultad, por ensayo y error, eso lo determinamosA1=(120013). Esto podría llevarnos a adivinar que la inversa se encuentra tomando el recíproco de todas las entradas distintas de cero de una matriz. ¡Ay, no es tan fácil!

SiA=(1235), la “regla recíproca” nos diría que lo inverso deA esB=(1121315). Intenta computarAB y verás que no obtienes la matriz de identidad. Entonces, qué esA1? Para entender más completamente la noción de lo inverso de una matriz, sería beneficioso tener una fórmula que nos permitiera calcular la inversa de al menos una2×2 matriz. Para ello, se introduce la definición del determinante de una2×2 matriz.

Definición 5.2.4: Determinant of a 2 by 2 Matrix

DejarA=(abcd). El determinante deA es el númerodetA=adbc.

Además de la notacióndetA, común para el determinante de la matrizA es|A|. Esto es particularmente común al escribir toda la matriz, cuyo caso escribiríamos|abcd| para el determinante de la2×2 matriz general.

Ejemplo5.2.3: Some Determinants of Two by Two Matrices

SiA=(1235) entoncesdetA=152(3)=11. SiB=(1224) entoncesdetB=1422=0.

Teorema5.2.2: Inverse of 2 by 2 Matrix

LetA=(abcd). SidetA0, entoncesA1=1detA(dbca).

Prueba

Ver Ejercicio5.2.4 al final de esta sección.

Ejemplo5.2.4: Finding Inverses

¿Podemos encontrar los inversos de las matrices en Example5.2.3? SiA=(1235) entonces

\ begin {ecuación*} A^ {-1} =\ frac {1} {11}\ left (\ begin {array} {cc} 5 & -2\\ 3 & 1\\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {cc}\ frac {5} {11} & -\ frac {2} {11}\\ frac {3} {11} &\ frac {1} {11}\\\ end {array}\ right)\ end {ecuación*}

El lector debe verificar queAA1=A1A=I.

La segunda matriz,B, tiene un determinante igual a cero. Si intentáramos aplicar la fórmula en Teorema5.2.2, estaríamos dividiendo por cero. Por esta razón, la fórmula no se puede aplicar y de hechoB1 no existe.

Observaciones:

  • En general, siA es una2×2 matriz y sidetA=0, entoncesA1 no existe.
  • Sen3 puede derivar una fórmula para la inversa den×n matrices que también implicadetA. De ahí que, en general, si el determinante de una matriz es cero, la matriz no tiene una inversa. Sin embargo, la fórmula para incluso una3×3 matriz es muy larga y no es la forma más eficiente de calcular la inversa de una matriz.
  • En el Capítulo 12 desarrollaremos una técnica para calcular la inversa de una matriz de orden superior, si existe.
  • La inversión matricial es lo primero en la jerarquía de las operaciones matriciales; por lo tanto,AB1 esA(B1).

Ejercicios

Ejercicio5.2.1

Para las matrices dadasA encontrarA1 si existe y verificar queAA1=A1A=I. SiA1 no existe explicar por qué.

  1. A=(1321)
  2. A=(6384)
  3. A=(1301)
  4. A=(1001)
  5. Usa la definición de la inversa de una matriz para encontrarA1:A=(3000120005)
Contestar
  1. (1/53/52/51/5)
  2. No existe inversa.
  3. (1301)
  4. A1=A
  5. (1/300020001/5)

Ejercicio5.2.2

Para las matrices dadasA encontrarA1 si existe y verificar queAA1=A1A=I. SiA1 no existe explicar por qué.

  1. A=(2112)
  2. A=(0102)
  3. A=(1c01)
  4. A=(abba),donde|a||b|.

Ejercicio5.2.3

  1. DejarA=(2314) yB=(3321). verificar que(AB)1=B1A1.
  2. DejarA yB ser matricesn×n invertibles. Demostrar(AB)1=B1A1. eso ¿Por qué el lado derecho de la declaración anterior está escrito “al revés”? ¿Esto es necesario? Pista: Usar teorema5.2.1
Contestar

Que A y B seann por matricesn invertibles.

\ begin {equation*}\ begin {split}\ left (B^ {-1} A^ {-1}\ right) (AB) &=\ left (B^ {-1}\ right)\ left (A^ {-1} (AB)\ right)\\ &=\ left (B^ {-1}\ right)\ left (\ left (A^ {-1} A\ right)\ right)\ &= (\ izquierda (B^ {-1}\ derecha) I B)\\ &=B^ {-1} (B)\\ &=I\ end {split}\ end {ecuación*}

Del mismo modo,(AB)(B1A1)=I.

Por teorema5.2.1,B1A1 es la única inversa deAB. SiA1B1, intentáramos invertirAB con no tendríamos éxito ya que no podemos reorganizar el orden de las matrices.

Ejercicio5.2.4

LetA=(abcd). Derivar la fórmula paraA1.

Ejercicio5.2.5: Linearity of Determinants

  1. DejarA yB ser matrices de 2 por 2. Demostrar quedet(AB)=(detA)(detB).
  2. Se puede demostrar que la afirmación en la parte (a) es cierta para todas lasn×n matrices. DejarA ser cualquiern×n matriz invertible. Demostrar esodet(A1)=(detA)1. Nota: El determinante de la matriz de identidadIn es 1 para todosn.
  3. Verificar que la ecuación en la parte (b) sea verdadera para la matriz en el Ejercicio5.2.1 (a) de esta sección.
Contestar

1=detI=det(AA1)=detA detA1.Ahora soluciona paradetA1.

Ejercicio5.2.6

Demostrar por inducción que paran1,(a00b)n=(an00bn).

Ejercicio5.2.7

Utilice los supuestos en Ejercicio5.2.5 para probar por inducción que sin1,det(An)=(detA)n.

Contestar

Bases:(n=1):detA1=detA=(detA)1

Inducción: AsumirdetAn=(detA)n para algunosn1.

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ det A^ {n+1} & =\ det\ left (A^nA\ right)\ quad\ textrm {por la definición de exponentes}\\ &=\ det\ left (A^n\ right)\ det (A)\ quad\ textrm {por ejercicio 5}\\ &= (det A) ^n (\ det A)\ quad\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ &= (\ det A) ^ {n+1}\ end {split}\ end {equation*}

Ejercicio5.2.8

Probar: Si el determinante de una matrizA es cero, entoncesA no tiene una inversa. Pista: Utilizar el método indirecto de prueba y ejercicio5.2.5.

Ejercicio5.2.9

  1. A,B, and DDejen sern×n matrices. Supongamos queB es invertible. SiA=BDB1, prueba por inducción queAm=BDmB1 es cierto param1.
  2. Dado queA=(815611)=B(1002)B1 dondeB=(5332) lo que esA10?
Contestar
  1. AsumirA=BDB1
    Base(m=1)::A1=A=BD1B1 se da.
    Inducción: Supongamos que para algún número entero positivom,Am=BDmB1
    Am+1=AmA=(BDmB1)(BDB1)by the induction hypothesis=(BDm(B1B)(DB1)by associativity=BDmDB1by the definition of inverse=BDm+1B1
  2. A10=BD10B1=(920615345613810231)

This page titled 5.2: Tipos especiales de matrices is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Al Doerr & Ken Levasseur.

Support Center

How can we help?