7.3: Composición de la función

Ahora que tenemos una buena comprensión de lo que es una función, nuestro siguiente paso es considerar una operación importante sobre funciones. Nuestro propósito no es desarrollar el álgebra de funciones tan completamente como lo hicimos para los álgebras de lógica, matrices y conjuntos, pero el lector debe ser consciente de las similitudes entre el álgebra de funciones y la de matrices. Primero definimos la igualdad de funciones.

Función Igualdad

Definición\(\PageIndex{1}\): Equality of Functions

\(f, g:A \rightarrow B\text{;}\)Que sea, let\(f\) y\(g\) ambos sean funciones desde\(A\) dentro\(B\text{.}\) Entonces\(f\) es igual a\(g\) (denotado\(f=g\)) si y solo si\(f(x) = g(x)\) para todos\(x \in A\text{.}\)

Dos funciones que tienen dominios diferentes no pueden ser iguales. Por ejemplo,\(f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\) definidos por\(f(x)=x^2\) y\(g: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definidos por no\(g(x)=x^2\) son iguales aunque la fórmula que los define sea la misma.

Por otro lado, no es raro que dos funciones sean iguales aunque se definan de manera diferente. Por ejemplo, considere las funciones\(h\) y\(k\text{,}\) donde\(h: \{-1,0,1,2\}\to \{0,1,2\}\) se define por\(h(x)=|x|\) y\(k: \{-1,0,1,2\}\to \{0,1,2\}\) se define por\(k(x) = -\frac{x^3}{3}+x^2+\frac{x}{3}\) parecen ser funciones muy diferentes. Sin embargo, son iguales porque\(h(x)= k(x)\) para\(x = -1, 0, 1, \text{ and } 2\text{.}\)

Composición de la función

Una de las operaciones más importantes sobre funciones es la de composición.

Definición \(\PageIndex{2}\): Composition of Functions

Let\(f:A \rightarrow B\) y\(g:B \rightarrow C\text{.}\) Entonces la composición de\(f\) seguido por\(g\text{,}\) escrito\(g\circ f\text{,}\) es una función desde\(A\) dentro\(C\) definida por la\((g \circ f)(x) = g(f(x))\text{,}\) cual se lee “\(g\)\(f\)de\(x\text{.}\)”

El lector debe señalar que es tradicional escribir la composición de funciones de derecha a izquierda. Así, en la definición anterior, la primera función que se realiza\(f\text{.}\) en la computación\(g \circ f\) es Por otro lado, para las relaciones, la composición\(r s\) se lee de izquierda a derecha, de manera que la primera relación es\(r\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Basic Example

Dejar\(f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b\}\) ser definido por\(f(1) = a\text{,}\)\(f(2) = a\text{,}\) y\(f(3) = b\text{.}\) Let\(g:\{a, b\} \rightarrow \{5, 6, 7\}\) ser definido por\(g(a) = 5\) y\(g(b) = 7\text{.}\) Luego\(g\circ f: \{1, 2, 3\}\rightarrow \{5, 6, 7\}\) se define por\((g\circ f)(1)= 5\text{,}\)\((g\circ f)(2)= 5,\) y Por\((g\circ f)(3)= 7\text{.}\) ejemplo,\((g\circ f)(1)= g(f(l)) = g(a) = 5\text{.}\) Tenga en cuenta que no\(f\circ g\) está definido. ¿Por qué?

Dejar\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(f(x) = x^3\) y dejar\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(g(x) = 3x+1\text{.}\) Entonces, ya que

\ begin {ecuación*} (g\ circ f) (x) = g (f (x)) = g\ izquierda (x^3\ derecha) = 3x^3 + 1\ end {ecuación*}

tenemos\(g\circ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se define por\((g\circ f)(x)= 3x^3 + 1\text{.}\) Aquí también\(f\circ g\) se define y\(f\circ g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) se define por\((f\circ g)(x)=(3x + 1)^3\). Además, ya que\(3x ^3+ 1 \neq (3x + 1)^3\) para al menos un número real,\(g\circ f \neq f\circ g\text{.}\) Por lo tanto, la ley conmutativa no es cierta para funciones bajo la operación de composición. No obstante, la ley asociativa es cierta para las funciones bajo la operación de la composición.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Function Composition is Associative

Si\(f:A\rightarrow B\text{,}\)\(g:B\to C\text{,}\) y\(h:C\rightarrow D\text{,}\) entonces\(h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f\text{.}\)

Prueba

Nota: Para demostrar que dos funciones son iguales, debemos usar la definición de igualdad de funciones. Suponiendo que las funciones tienen el mismo dominio, son iguales si, por cada elemento de dominio, las imágenes de ese elemento bajo las dos funciones son iguales.

Deseamos probar eso\((h\circ (g\circ f))(x) = ((h\circ g)\circ f)(x)\) para todos\(x \in A\text{,}\) que es dominio de ambas funciones.

\ begin {ecuation*}\ begin {split} (h\ circ (g\ circ f)) (x) &= h ((g\ circ f) (x))\ textrm {por la definición de composición}\\ &=h (g (f (x)))\ textrm {por la definición de composición}\ end {split}\ end {ecuación*}

Del mismo modo,

\ begin {ecuation*}\ begin {split} ((h\ circ g)\ circ f) (x) &= (h\ circ g) (f (x))\ textrm {por la definición de composición}\\ & =h (g (f (x)))\ textrm {por la definición de composición}\ end {split}\ text {.} \ end {ecuación*}

Observe que no importa cómo\(h\circ g\circ f\) se agrupe las funciones de la expresión, la imagen final de cualquier elemento de\(x\in A\) es\(h(g(f(x)))\) y así\(h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f\text{.}\)

Si\(f\) es una función en un conjunto\(A\text{,}\) entonces las composiciones\(f\circ f\text{,}\)\(f\circ f\circ f, \dots \) son válidas, y las denotamos como\(f^2\), Composiciones\(f^3, \dots \text{.}\) repetidas de\(f\) consigo mismas pueden definirse recursivamente. Discutiremos esta forma de definición en detalle en la Sección 8.1.

Definición \(\PageIndex{3}\): Powers of Functions

Vamos\(f: A\to A\text{.}\)

• \(f^1= f\text{;}\)es decir,\(f^1(a) = f(a)\text{,}\) para\(a \in A\text{.}\)
• Para\(n\geq 1\text{,}\)\(f^{n+1}= f\circ f^n\text{;}\) eso es,\(f^{n+1}(a)=f\left( f^n(a)\right)\) para\(a \in A\text{.}\)

A continuación se dan dos teoremas útiles sobre la composición. Se dejan las pruebas para los ejercicios.

Teorema \(\PageIndex{2}\): The Composition of Injections is an Injection

Si\(f: A \rightarrow B\) y\(g : B \rightarrow C\) son inyecciones, entonces\(g\circ f : A \rightarrow C\) es una inyección.

Teorema \(\PageIndex{3}\): The Composition of Surjections is a Surjection

Si\(f : A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\) son sobreyecciones, entonces\(g\circ f: A \rightarrow C\) es una sobrejección.

Ahora nos gustaría definir los conceptos de identidad e inverso para funciones bajo composición. La motivación y las descripciones de las definiciones de estos términos provienen de las definiciones de los términos en el conjunto de números reales y para matrices. Para los números reales, los números 0 y 1 juegan el papel único que\(x + 0 = 0 + x = x\) y\(x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\) para cualquier número real\(x\text{.}\) 0 y 1 son los elementos de identidad para los reales bajo las operaciones de suma y multiplicación, respectivamente. De igual manera, la matriz\(n \times n\) cero\(0\) y la matriz de\(n \times n\) identidad\(I\) son tales que para cualquier\(n \times n\) matriz\(A\text{,}\)\(A + 0 = 0 + A=A\) y\(A I = I A = A\text{.}\) por lo tanto, una manera elegante de definir la función de identidad bajo la operación de composición sería imitar lo anteriormente conocido hechos.

Definición \(\PageIndex{4}\): Identity Function

Para cualquier conjunto,\(A\text{,}\) la función de identidad activada\(A\) es una función desde\(A\) hacia\(A\text{,}\) denotada por\(i\) (o, más específicamente,\(i_A\)) tal que\(i(a) = a\) para todos\(a\in A\text{.}\)

Con base en la definición de\(i\text{,}\) podemos demostrar que para todas las funciones\(f:A\to A\text{,}\)\(f\circ i=i\circ f = f\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): The Identity Function on \(\{1,\:2,\: 3\}\)

Si\(A = \{1, 2, 3\}\text{,}\) entonces la función de identidad\(i:A \to A\) está definida por\(i(1) = 1\text{,}\)\(i(2) = 2,\) y\(i(3)= 3\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): The Identity Function on \(\mathbb{R}\)

La función de identidad\(\mathbb{R}\) está\(i : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por\(i(x) = x\text{.}\)

Funciones inversas

Introduciremos la inversa de una función con un caso especial: la inversa de una función en un conjunto. Después de que te hayas tomado el tiempo para entender este concepto, puedes leer sobre la inversa de una función de un conjunto a otro. Se alienta al lector a releer la definición de la inversa de una matriz en la Sección 5.2 (Definición 5.2.3) para ver que la siguiente definición de la función inversa es un análogo directo de esa definición.

Definición \(\PageIndex{5}\): Inverse of a Function on a Set

Dejar\(f: A\rightarrow A\text{.}\) Si existe una función\(g : A \rightarrow A\) tal que\(g\circ f = f\circ g = i\text{,}\) entonces\(g\) se llama la inversa de\(f\) y se denota por\(f^{-1}\), leer “\(f\)inverso”.

Observe que en la definición nos referimos a “lo inverso” en contraposición a “un inverso”. Se puede probar que una función nunca puede tener más de una inversa (ver ejercicios).

Una descripción alternativa de la inversa de una función, que se puede probar a partir de la definición, es la siguiente:\(f: A \rightarrow A\) Sea tal que\(f(a) = b\text{.}\) Entonces cuando exista,\(f^{-1}\) es una función de\(A\) a\(A\) tal que\(f^{-1}(b)=a\text{.}\) Note que\(f^{-1}\) “deshace” lo que\(f\) hace.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): The Inverse of a Function on \(\{1,\:2,\:3\}\)

Dejar\(A = \{1, 2, 3\}\) y dejar\(f\) ser la función definida en\(A\) tal que\(f(1) = 2\text{,}\)\(f(2) = 3\text{,}\) y\(f(3) = 1\text{.}\) Entonces\(f^{-1} : A \rightarrow A\) se define por\(f^{-1}(1) = 3\text{,}\)\(f^{-1}(2) = 1\text{,}\) y\(f^{-1}(3) = 2\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Inverse of a Real Function

Si\(g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se define por\(g(x) =x^3\), entonces\(g^{-1}\) es la función que deshace lo que\(g\) hace. Desde\(g\) cubos números reales,\(g^{-1}\) debe ser el proceso “inverso”, es decir, toma raíces cubicales. Por lo tanto,\(g^{-1} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se define por\(g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\text{.}\) Debemos demostrar eso\(g^{-1}\circ g = i\) y\(g\circ g^{-1}=i\text{.}\) Haremos el primero, y se anima al lector a hacer el segundo.

\ begin {ecuación*}\ begin {split}\ left (g^ {-1}\ circ g\ right) (x) &= g^ {-1} (g (x))\ quad\ textrm {Definición de composición}\\ &= g^ {-1}\ left (x^3\ right)\ quad\ text {Definición de} g\\ &=\ sqrt [3] {x^3}\ quad\ textrm {Definición de} g^ {-1}\\ & = x\ quad\ text {Definición de raíz cubo}\\ &= i (x)\ quad\ text { Definición de la función de identidad}\ end {split}\ end {equation*}

Por tanto,\(g^{-1}\circ g = i\text{.}\) ¿por qué?

La definición de la inversa de una función alude al hecho de que no todas las funciones tienen inversas. ¿Cómo determinamos cuándo existe la inversa de una función?

Teorema\(\PageIndex{4}\): Bijections Have Inverses

Let\(f: A\rightarrow A\text{.}\)\(f^{-1}\) existe si y sólo si f es una biyección; i. e. f es uno-a-uno y on.

Prueba

(\(\Rightarrow\)) En esta mitad de la prueba, supongamos que\(f^{-1}\) existe y debemos probar que\(f\) es uno a uno y sobre. Para ello, es conveniente para nosotros usar la notación de relación, donde\(f(s)=t\) equivale\((s,t)\in f\text{.}\) a Para probar que\(f\) es uno-a-uno, supongamos que\(f(a)=f(b) = c\text{.}\) Alternativamente, eso significa\((a, c)\) y\((b, c)\) son elementos de\(f\). Debemos demostrar que\(a =b\text{.}\) Desde\((a, b), (c, b) \in \text{ }f\text{,}\)\((c, a)\) y\((c,b)\) están en\(f^{-1}\text{.}\) Por el hecho de que\(f^{-1}\) es una función y\(c\) no puede tener dos imágenes,\(a\) y\(b\) debe ser igual, así\(f\) es uno-a-uno.

A continuación, para probar que\(f\) está en, observar que\(f^{-1}\) para ser una función, debe utilizar todo su dominio, es decir, A.\(b\) Sea cualquier elemento de\(A\text{.}\) Entonces b tiene una imagen debajo\(f^{-1}\),\(f^{-1}(b)\text{.}\) Otra forma de escribir esto es\(\left(b,f^{-1}(b)\right)\in f^{-1}\text{,}\) Por la definición de lo inverso, esto es equivalente a\(\left(f^{-1}(b), b\right) \in f\text{.}\) Por lo tanto,\(b\) está en el rango de\(f\text{.}\) Since\(b\) fue elegido arbitrariamente, esto demuestra que el rango de\(f \) debe ser todo de\(A\text{.}\)

(\(\Leftarrow\)) Supongamos que\(f\) es uno a uno y hacia y estamos para demostrar que\(f^{-1}\) existe. Dejamos esta mitad de la prueba al lector. \(\square\)

Definición\(\PageIndex{6}\): Permutation

Una biyección de un conjunto\(A\) en sí mismo se llama permutación de\(A\text{.}\)

A continuación, consideraremos las funciones para las que el dominio y el codominio no son necesariamente iguales. ¿Cómo definimos la inversa en este caso?

Definición\(\PageIndex{7}\): Inverse of a Function (General Case)

Dejar\(f:A \rightarrow B\text{,}\) Si existe una función\(g:B \rightarrow A\) tal que\(g \circ f = i_A\) y\(f\circ g = i_B\), entonces\(g\) se llama la inversa de\(f\) y se denota por\(f^{-1}\), leer “\(f\)inversa”.

Observe la condición un poco más complicada para la inversa en este caso porque los dominios de\(f\circ g\) y\(g \circ f\) son diferentes si\(A\) y\(B\) son diferentes. La prueba del siguiente teorema no es realmente muy diferente del caso especial donde\(A=B\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{5}\): When Does a Function Have an Inverse?

Let\(f:A \rightarrow B\text{.}\)\(f^{-1}\) existe si y sólo si f es una biyección.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Another Inverse

Dejar\(A =\{1,2, 3\}\) y\(B = \{a, b, c\}\text{.}\) Definir\(f:A \rightarrow B\) por\(f(1) = a\text{,}\)\(f(2) = b\text{,}\) y\(f(3) = c\text{.}\) Luego\(g: B \rightarrow A\) definido por\(g(a) = 1\text{,}\)\(g(b) = 2\text{,}\) y\(g(c) = 3\) es la inversa de\(f\text{.}\)

\ begin {ecuación*}\ left. \ begin {array} {c} (g\ circ f) (1) = 1\\ (g\ circ f) (2) =2\\ (g\ circ f) (3) =3\\ end {array}\ derecha\}\ Rightarrow\ text {} g\ circ f = I_a\ textrm {y}\ izquierda. \ begin {array} {c} (f\ circ g) (a) =a\\ (f\ circ g) (b) =b\\ (f\ circ g) (c) =c\\ final {array}\ derecha\}\ Rightarrow\ text {} f\ circ g = i_b\ end {ecuación*}

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(A = \{1,2, 3, 4, 5\}\text{,}\)\(B = \{a, b, c, d, e,f\}\text{,}\) y\(C = \{+, -\}\text{.}\) Definir\(f: A \to B\) por\(f(k)\) igual a la\(k^{th}\) letra en el alfabeto, y definir\(g : B \rightarrow C\) por\(g(\alpha ) = +\) si\(\alpha\) es una vocal y\(g(\alpha ) = -\) si\(\alpha\) es una consonante.

1. Encuentra\(g\circ f\text{.}\)
2. Tiene sentido discutir\(f\circ g\text{?}\) Si no, ¿por qué no?
3. ¿\(f^{-1}\)Existe? ¿Por qué?
4. ¿\(g^{-1}\)Existe? ¿Por qué?

Responder

1. \(g\circ f:A\to C\)se define por\((g\circ f)(k)=\begin{cases} + & \textrm{ if } k=1 \textrm{ or } k=5 \\ - & \textrm{ otherwise} \end{cases}\)
2. No, ya que el dominio de no\(f\) es igual al codominio de\(g\text{.}\)
3. No, ya que no\(f\) es suryectiva.
4. No, ya que no\(g\) es inyectivo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Let\(A = \{1, 2, 3\}\text{.}\) Definir\(f:A\rightarrow A\) por\(f(1) = 2\text{,}\)\(f(2) = 1\text{,}\) y\(f(3) = 3\text{.}\) Buscar\(f^2\text{,}\)\(f^3\text{,}\)\(f^4\) y\(f^{-1}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(A = \{1, 2, 3\}\text{.}\)

1. Listar todas las permutaciones de\(A\text{.}\)
2. Encuentra el inverso y el cuadrado de cada una de las permutaciones de la parte a, donde el cuadrado de una permutación,\(f\text{,}\) es la composición\(f \circ f\text{.}\)
3. Demostrar que la composición de dos permutaciones cualesquiera de\(A\) es una permutación de\(A\text{.}\)
4. Demostrar que si\(A\) hay algún conjunto donde\(\lvert A\rvert= n\text{,}\) entonces el número de permutaciones de\(A\) es\(n!\text{.}\)

Responder

1. Las permutaciones de\(A\) son\(i,r_1,r_2,f_1,f_2,\) y\(f_3\text{,}\) se definen en la Tabla 15.3.1.
2. \ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccc} g & g^ {-1} & g^2\\ i & i & i\\ r_1 & r_2 & r_2\\ r_2 & r_1 & r_1\\ f_1 & f_1 & i\\ f_2 & f_2 & i\\ f_2 & i\\ f_3 & f_3 & i\\ end {array}\ end {ecuación*}
3. Si\(f\) y\(g\) son permutaciones de\(A\text{,}\) entonces ambas son inyecciones y su composición,\(f\circ g\text{,}\) es una inyección, por Teorema\(\PageIndex{2}\). Por teorema\(\PageIndex{3}\),\(f\circ g\) es también una sobreyección; por lo tanto,\(f\circ g\) es una biyección sobre\(A\text{,}\) una permutación.
4. Prueba por inducción: Bases:\((n=1)\text{.}\) El número de permutaciones de\(A\) es uno, la función de identidad, ¡y 1! \(=1\text{.}\)
   
   Inducción: Supongamos que el número de permutaciones en un conjunto con\(n\) elementos,\(n\geq 1\text{,}\) es\(n\text{!.}\) Además, supongamos que\(|A|=\)\(\text{ }n+1\) y que\(A\) contiene un elemento llamado\(\sigma\text{.}\) Let\(A'=A-\{\sigma\}\text{.}\) Podemos reducir la definición de una permutación,\(f\text{,}\) en\(A\) dos pasos. Primero, seleccionamos cualquiera de las\(n\text{!}\) permutaciones en\(A'\text{.}\) (Tenga en cuenta el uso de la hipótesis de inducción.) Llámalo\(g\text{.}\) Esta permutación define casi por completo una permutación sobre la\(A\) que vamos\(f(a)\) a llamar\(f\text{.}\) Para todos\(a\) en\(A'\text{,}\) comenzamos definiendo ser\(g(a)\text{.}\) Podemos estar haciendo algunos ajustes, pero definirlo de esa manera por ahora. A continuación, seleccionamos la imagen de la\(\sigma\text{,}\) cual se puede hacer de\(n+1\) diferentes maneras, permitiendo cualquier valor en\(A\text{.}\) Para mantener nuestra función biyectiva, debemos ajustar de la\(f\) siguiente manera: Si seleccionamos\(f(\sigma)=y \neq \sigma\text{,}\) entonces debemos encontrar el elemento,\(z\text{,}\) de\(A\) tal manera que\(g(z)=y\text{,}\) y redefinir la imagen de\(z\) a\(f(z)=\sigma\text{.}\) Si hubiéramos seleccionado\(f(\sigma)=\sigma\text{,}\) entonces no hay necesidad de ajuste. Por regla de productos, la cantidad de formas que podemos definir\(f\) es\(n!(n+1)=(n+1)!\)\(\square\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Definir\(s\text{,}\)\(u\text{,}\) y\(d\text{,}\) todas las funciones en los enteros, por\(s(n) = n^2\),\(u(n) = n + 1\text{,}\) y\(d(n) = n-1\text{.}\) Determinar:

1. \(\displaystyle u \circ s \circ d\)
2. \(\displaystyle s \circ u\circ d\)
3. \(\displaystyle d \circ s \circ u\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Considere las siguientes funciones en el conjunto de cadenas de bits de longitud 4. En estas definiciones, se hace adición módulo 2, de manera\(1+1=0\text{.}\) que ¿Cuál de estas funciones tiene una inversa? Para los que tienen una inversa, ¿qué es? Para aquellos que no explican por qué.

1. \(\displaystyle f_1(b_1 b_2 b_3 b_4) = b_2 b_3 b_4 b_1\)
2. \(\displaystyle f_2(b_1 b_2 b_3 b_4) = b_4 b_3 b_2 b_1\)
3. \(\displaystyle f_3(b_1 b_2 b_3 b_4) = (b_1+b_2)(b_2+b_3)(b_3+b_4)(b_4+b_1)\)
4. \(\displaystyle f_4(b_1 b_2 b_3 b_4) = b_1(b_1+b_2)(b_1+b_2+b_3)(b_1+b_2+b_3+b_4)\)

Responder

1. \(f_1\)tiene una inversa. \(f_1^{-1}= f_1^3\text{.}\)
2. \(f_2\)tiene una inversa. \(f_2^{-1}= f_2\text{.}\)
3. \(f_3\)no tiene una inversa. Una forma de verificar esto es notar que no\(f_3\) es uno a uno porque\(f_3(0000) = 0000 = f_3(1111)\text{.}\)
4. \(f_4\)tiene una inversa. \(f_4^{-1}=f_4^3.\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\): Inverse Images

Si\(f\) hay alguna función desde\(A\) dentro\(B\text{,}\) podemos describir la imagen inversa como una función desde\(B\) dentro de la\(\mathcal{P}(A)\text{,}\) cual también se denota comúnmente\(f^{-1}\text{.}\)\(b \in B\text{,}\)\(f^{-1}(b) = \{a \in A\mid f(a) = b\}\text{.}\) Si Si\(f\) tiene una inversa, la imagen inversa de\(b\) es\(\left\{f^{-1}(b)\right\}\text{.}\)

1. \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)Déjese definir por\(g(x) = x^2\text{.}\) Qué son\(g^{-1}(4)\text{,}\)\(g^{-1}(0)\) y\(g^{-1}(-1)\text{?}\)
2. Si\(r: \mathbb{R}\to \mathbb{Z}\text{,}\) donde\(r(x) = \lceil x\rceil\text{,}\) lo que es\(r^{-1}(1)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Let\(f,\)\(g\text{,}\) y\(h\) all be funciones desde\(\mathbb{Z}\) dentro\(\mathbb{Z}\) definidas por\(f(n) = n + 5\text{,}\)\(g(n) = n - 2,\) y\(h(n)=n^2\text{.}\) Definir:

1. \(\displaystyle f\circ g\)
2. \(\displaystyle f^3\)
3. \(\displaystyle f\circ h\)

Responder

1. \(\displaystyle f\circ g(n)=n+3\)
2. \(\displaystyle f^3(n)=n+15\)
3. \(\displaystyle f\circ h(n)=n^2+5\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Definir las siguientes funciones en los números enteros por\(f(k) = k + 1\text{,}\)\(g(k) = 2k\text{,}\) y\(h(k)=\lceil k/2\rceil\)

1. ¿Cuáles de estas funciones son uno-a-uno?
2. ¿Cuáles de estas funciones están en juego?
3. Expresar en términos más simples las composiciones\(f\circ g\text{,}\)\(g \circ f\text{,}\)\(g \circ h\text{,}\)\(h \circ g\text{,}\) y\(h^2\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío. Demostrar que si\(f \) es una bijección\(A\) y\(f \circ f=f\text{,}\) luego\(f\) es la función de identidad,\(i\)

Pista

Se ha visto una prueba similar en álgebra matricial.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Para la matriz real\(A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\text{,}\)\(\det(A)= a d-b c\text{.}\)

Recordemos que una bijección de un conjunto a sí mismo también se conoce como una permutación del conjunto. Dejar\(\pi\) ser una permutación de\(\{a,b,c,d\}\) tal que\(a\) se\(\pi (a)\text{,}\)\(b\) convierte en\(\pi (b)\text{,}\) etc.

Que\(B=\left( \begin{array}{cc} \pi(a)& \pi(b)\\ \pi(c)& \pi(d)\\ \end{array} \right)\text{.}\) cuántas permutaciones de\(\pi\) dejar el determinante de\(A\) invariante, es decir,\(\det A = \det B\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Estado y probar un teorema sobre funciones inversas análogo al que dice que si una matriz tiene una inversa, esa inversa es única.

Responder

Si\(f:A\to B\) y\(f\) tiene una inversa, entonces esa inversa es única.

Prueba: Supongamos que\(g\) y\(h\) son ambos inversos de\(f\text{,}\) ambos teniendo dominio\(B\) y codominio\(A\text{.}\)

\ begin {ecuation*}\ begin {split} g &= g\ circ i_b\\ & =g\ circ (f\ circ h)\\ & = (g\ circ f)\ circ h\\ & =i_a\ circ h\\ & =h\ quad\ Rightarrow g=h\ quad\ square\ end {split}\ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones cuyas inversas existen. Demostrar que\((f\circ g)^{-1}= g^{-1}\circ f^{-1}\text{.}\)

Pista

Ver Ejercicio 5.4.3 de la Sección 5.4.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{2}\) y teorema\(\PageIndex{3}\).

Responder

\(x,x'\)Dejen ser elementos de\(A\) tal manera\(g\circ f(x)=g\circ f(x')\text{;}\) que es decir,\(g(f(x))=g(f(x'))\text{.}\) ya que\(g\) es inyectable,\(f(x)=f(x')\) y dado que\(f\) es inyectable,\(x=x'\text{.}\)\(\square\)

\(x\)Sea un elemento de\(C\text{.}\) Debemos demostrar que existe un elemento de\(A\) cuya imagen bajo\(g\circ f\) es\(x\text{.}\) Ya que\(g\) es suryectiva, existe un elemento de\(B\text{,}\)\(y\text{,}\) tal que\(g(y)=x\text{.}\) Además, como\(f\) es una suryección, existe una elemento de\(A\text{,}\)\(z\text{,}\) tal que\(f(z)=y\text{,}\)\(g\circ f(z)=g(f(z))=g(y)=x\text{.}\)\(\square\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Demostrar la segunda mitad del Teorema\(\PageIndex{4}\).

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Demostrar por inducción que si\(n\geq 2\) y\(f_1\text{,}\)\(f_2, \dots, f_n\) son funciones invertibles en algún conjunto no vacío\(A\text{,}\) entonces\(\left( f_1\circ f_2\circ \cdots \circ f_n \right){}^{-1}= f_n^{-1}\circ \cdots \circ f_2^{-1}\circ f_1^{-1}\text{.}\) La base ha sido atendida en Ejercicio\(\PageIndex{12}\).

Responder

Bases:\((n=2)\text{:}\)\(\left(f_1\circ f_2\right){}^{-1}=f_2{}^{-1}\circ f_1{}^{-2}\) por Ejercicio\(\PageIndex{12}\).

Inducción: Asumir\(n\geq 2\) y

\ begin {ecuación*}\ izquierda (f_1\ circ f_2\ circ\ cdots\ circ f_n\ derecha) {} ^ {-1} = f_n {} ^ {-1}\ circ\ cdots\ circ f_2 {} ^ {-1}\ circ f_1 {} ^ {-1}\ end {ecuación*}

y considerar\(\left(f_1\circ f_2\circ \cdots \circ f_{n+1}\right)^{-1}\text{.}\)

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ left (f_1\ circ f_2\ circ\ cdots\ circ f_ {n+1}\ right) {} ^ {-1} &=\ left (\ left (\ left (f_1\ circ f_2\ circ\ cdots\ circ f_n\ right)\ circ f_ {n+1}\ right) {} ^ {^ -1}\\\ & =f_ {n+1} {} ^ {-1}\ circ\ izquierda (f_1\ circ f_2\ circ\ cdots\ circ f_n\ derecha) {} ^ {-1}\\ &\ quad\ quad\ textrm {por la base}\\ & amp; =f_ {n+1} {} ^ {-1}\ circ\ izquierda (f_n {} ^ {-1}\ circ\ cdots\ circ f_2 {} ^ {-1}\ circ f_1 {} ^ {-1}\ derecha)\\ &\ quad\ quad\ quad\ textrm {por la hipótesis de inducción}\\ &=f_ {n+1} {^ ^ {-1}\ circ\ cdots\ circ f_2 {} ^ {-1}\ circ f_1 {} ^ {-1}\ quad. \ square\ end {split}\ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

1. Nuestra definición de cardinalidad establece que dos conjuntos,\(A\) y\(B\text{,}\) tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre los dos conjuntos. ¿Por qué no importa si la bijección es de\(A\) hacia dentro\(B\) o\(B\) hacia\(A\text{?}\)
2. Demostrar que “tiene la misma cardinalidad que” es una relación de equivalencia en conjuntos.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Construye una tabla con tantas “Leyes de composición de funciones” como puedas identificar. Utilice listas anteriores de leyes como guía.

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Con base en la definición de la función de identidad, demostrar que para todas las funciones\(f:A\to A\text{,}\)\(f\circ i=i\circ f = f\text{.}\)