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12.1: Sistemas de Ecuaciones Lineales

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Soluciones

    El método de resolución de sistemas de ecuaciones por matrices que veremos se basa en procedimientos que involucran ecuaciones con las que estamos familiarizados de cursos previos de matemáticas. La idea principal es reducir un sistema dado de ecuaciones a otro sistema más simple que tenga las mismas soluciones.

    Definición\(\PageIndex{1}\): Solution Set

    Dado un sistema de ecuaciones que involucra variables reales,\(x_1\text{,}\)\(x_2, \ldots \text{,}\)\(x_n\text{,}\) el conjunto de soluciones del sistema es el conjunto de\(n\) -tuplas de\(\mathbb{R}^n\text{,}\)\(\left(a_1, a_2, \ldots ,a_n\right)\) tal manera que las sustituciones\(x_1= a_1\text{,}\)\(x_2= a_2, \ldots\text{,}\)\(x_n= a_n\) hacen verdaderas todas las ecuaciones.

    En términos de lógica, un conjunto de soluciones es un conjunto de verdad de un sistema de ecuaciones, que es una proposición sobre\(n\) -tuplas de números reales.

    En general, si las variables son de un conjunto\(S\text{,}\) entonces el conjunto de soluciones será un subconjunto de\(S^n\text{.}\) Por ejemplo, en teoría de números los matemáticos estudian ecuaciones diofantinas, donde las variables solo pueden tomar valores enteros en lugar de valores reales.

    Definición\(\PageIndex{2}\): Equivalent Systems of Equations

    Dos sistemas de ecuaciones lineales se denominan equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Two Equivalent Systems

    La definición anterior nos dice que si sabemos que el sistema

    \ begin {ecuación*}\ begin {array} {l} 4 x_1+2 x_2+x_3=1\\ 2 x_1+x_2+x_3=4\\ 2 x_1+2 x_2+x_3=3\\ end {array}\ end {ecuación*}

    es equivalente al sistema

    \ begin {ecuación*}\ begin {array} {l}\ text {} x_1+0 x_2+0x_3=-1\\ 0 x_1+x_2\ text {} +0x_3=-1\\ 0 x_1+0 x_1+0 x_2\ text {} +x_3= 7\\ end {array}\ end {ecuación*}

    entonces ambos sistemas tienen la solución establecida\(\{(-1, -1, 7)\}\text{.}\) En otras palabras, los valores simultáneos\(x_1=-1\text{,}\)\(x_2= -1\text{,}\) y\(x_3= 7\) son los únicos valores de las variables que hacen verdaderas las tres ecuaciones en cualquiera de los sistemas.

    Operaciones elementales sobre ecuaciones

    Teorema\(\PageIndex{1}\): Elementary Operations on Equations

    Si se realiza alguna secuencia de las siguientes operaciones en un sistema de ecuaciones, el sistema resultante es equivalente al sistema original:

    1. Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera en el sistema.
    2. Multiplique ambos lados de cualquier ecuación por una constante distinta de cero.
    3. Multiplique ambos lados de cualquier ecuación por una constante distinta de cero y agregue el resultado a una segunda ecuación en el sistema, con la suma reemplazando a esta última ecuación.

    Ahora usemos el teorema anterior para elaborar los detalles del Ejemplo\(\PageIndex{1}\) y ver cómo podemos llegar al sistema más simple.

    El sistema original:

    \[\begin{align} 4x_1+2x_2+x_3&=1\nonumber \\ 2x_1+x_2+x_3&=4\label{eq:1} \\ 2x_1+2x_2+x_3&=3\nonumber\end{align}\]

    Paso 1. Primero cambiaremos el coeficiente de\(x_1\) en la primera ecuación a uno y luego lo usaremos como pivote para obtener 0's para los coeficientes de\(x_1\) en las Ecuaciones 2 y 3.

    • Multiplicar la Ecuación 1 por\(\frac{1}{4}\) para obtener
      \[\begin{align} x_1+\frac{x_{2}}{2}+\frac{x_{3}}{4}&=\frac{1}{4}\nonumber \\ 2x_1+x_2+x_3&=4\label{eq:2} \\ 2x_1+2x_2+x_3&=3\nonumber\end{align}\]
    • Multiplica la Ecuación 1 por\(-2\) y suma el resultado a la Ecuación 2 para obtener
      \[\begin{align}x_1+\frac{x_{2}}{2}+\frac{x_{3}}{4}&=\frac{1}{4}\nonumber \\ 0x_1+0x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{7}{2}\label{eq:3} \\ 2x_1+2x_2+x_3&=3\nonumber\end{align}\]
    • Multiplica la Ecuación 1 por\(-2\) y suma el resultado a la Ecuación 3 para obtener
      \[\begin{align}x_1+\frac{x_{2}}{2}+\frac{x_{3}}{4}&=\frac{1}{4}\nonumber \\ 0x_1+0x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{7}{2}\label{eq:4} \\ 0x_1+x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{5}{2}\nonumber\end{align}\]

    Hemos escrito explícitamente términos con coeficientes cero como\(0 x_1\) para hacer un punto que todas las variables pueden ser consideradas como involucradas en todas las ecuaciones. Después de que este ejemplo esté completo, dejaremos esta práctica a favor de la práctica normal de hacer que estos términos “desaparezcan”.

    Paso 2. Ahora nos gustaría proceder de una manera análoga al Paso 1; es decir, multiplicar el coeficiente de\(x_2\) en la segunda ecuación por un número adecuado para que el resultado sea 1. Después utilízala como pivote para obtener 0's como coeficientes para\(x_2\) en la primera y tercera ecuaciones. Esto es claramente imposible (¿Por qué?) , por lo que primero intercambiaremos las Ecuaciones 2 y 3 y procederemos como se indicó anteriormente.

    • Ecuaciones de intercambio 2 y 3 para obtener
      \[\begin{align} x_1+\frac{x_{2}}{2}+\frac{x_{3}}{4}&=\frac{1}{4}\nonumber \\ 0x_1+x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{5}{2}\label{eq:5} \\ 0x_1+0x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{7}{2}\nonumber\end{align}\]
    • Multiplicar la Ecuación 2 por\(\frac{1}{2}\) y restar el resultado de la Ecuación 1 para obtener
      \[\begin{align} x_1+0x_2+0x_3&=-1\nonumber \\ 0x_1+x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{5}{2}\label{eq:6} \\ 0x_1+0x_2+\frac{x_{3}}{2}&=\frac{7}{2}\nonumber\end{align}\]

    Paso 3. A continuación, cambiaremos el coeficiente de\(x_3\) en la tercera ecuación a uno y luego lo usaremos como pivote para obtener 0's para los coeficientes de\(x_3\) en las Ecuaciones 1 y 2. Observe que el coeficiente de ya\(x_3\) es cero en la Ecuación 1, por lo que se nos ha guardado algo de trabajo!

    • Multiplicar la Ecuación 3 por\(2\) para obtener
      \[\begin{aligned} x_1+ 0x_2 + 0x_3 &= -1 \\ 0 x_1+ x_2+ \frac{x_3}{2}&=\frac{5}{2} \\ 0 x_1 + 0 x_2+ x_3&=7 \end{aligned}\]
    • Multiplica la Ecuación 3 por\(-1/2\) y suma el resultado a la Ecuación 2 para obtener
      \[\begin{align}  x_1+ 0x_2 + 0x_3 &= -1\nonumber \\ 0 x_1+ x_2+ 0 x_3&=-1\label{eq:7} \\ 0 x_1 + 0 x_2+ x_3&=7\nonumber \end{align}\]

    Del sistema de ecuaciones al final del Paso 3, vemos que la solución al sistema original es\(x_1=-1\text{,}\)\(x_2= -1\text{,}\) y\(x_3= 7\text{.}\)

    Transición a Matrices

    En la secuencia de pasos anterior, observamos que las variables sirven para el único propósito de mantener los coeficientes en la ubicación apropiada. Esto podemos efectuar mediante el uso de matrices. La matriz del sistema original en nuestro ejemplo es

    \ begin {ecuación*}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 4 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 1 & 3\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

    donde la matriz de las tres primeras columnas se denomina matriz de coeficientes y la matriz completa se denomina matriz aumentada. Como ahora estamos usando matrices para resolver el sistema, vamos a traducir el Teorema\(\PageIndex{1}\) al lenguaje matricial.

    Operaciones de Fila Primaria

    Teorema\(\PageIndex{2}\): Elementary Row Operations

    Si se realiza alguna secuencia de las siguientes operaciones sobre la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, la matriz resultante es un sistema que es equivalente al sistema original. Las siguientes operaciones en una matriz se denominan operaciones de fila elemental:

    1. Intercambia dos filas cualesquiera de la matriz.
    2. Multiplique cualquier fila de la matriz por una constante distinta de cero.
    3. Multiplica cualquier fila de la matriz por una constante distinta de cero y agrega el resultado a una segunda fila, con la suma reemplazando esa segunda fila.

    Definición\(\PageIndex{3}\): Row Equivalent Matrices

    Dos matrices,\(A\) y\(B\text{,}\) se dice que son equivalentes de fila si una se puede obtener de la otra por cualquier secuencia de cero o más operaciones de fila elemental.

    Si usamos la notación\(R_i\) para representar\(i\) Fila de una matriz y\(\longrightarrow\) para representar equivalencia de fila, entonces

    \ begin {ecuación*} A\ overset {c r_i+ r_j} {\ largoderrow} B\ final {ecuación*}

    significa que la matriz\(B\) se obtiene de la matriz\(A\) multiplicando la Fila\(i\) de\(A\) por\(c\) y sumando el resultado a\(j\text{.}\) Fila La operación de multiplicar fila\(i\) por\(c\) se indica mediante

    \ begin {ecuación*} A\ overset {c r_i} {\ longrightarrow} B\ end {ecuación*}

    mientras intercambia filas\(i\) y\(j\) se denota por

    \ begin {ecuación*} A\ overset {r_i\ leftrightarrow R_j} {\ longrightarrow} B\ text {.} \ end {ecuación*}

    La notación matricial para el sistema dada en nuestro primer ejemplo, con los pasos posteriores, es:

    \ begin {ecuation*}\ begin {split}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 4 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 2 & 1 & 3\\ end {array}\ right) &\ overset {\ frac {1} {4} R_1} {\ text {}\\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {1} {4} &\ frac {1} {4 }\\ 2 & 1 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 1 & 3\\\ end {array}\ derecha)\ text {}\ overset {-2 R_1+ R_2} {\ text {}\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {1} {4} &\ frac {1} {4}\\ 0 &\ 0 &\ frac {1} {2} &\ frac {7} {2}\\ 2 & 2 & 1 & 3\\ end {array}\ right)\\ &\ overset {-2 R_1+ R_3} {\ text {}\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {1} {4} &\ frac {1} {4}\ 0 &\ frac {1} {2} &\ frac {7} {2}\\ 0 & 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {5} {2}\\ end {array}\ derecha)\ text {}\ overset {R_2\ leftrightarrow R_3} {\ text {}\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {1} {4} &\ frac {1} {4}\\ 0 & 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {5} {2}\\ 0 & 0 &\ frac {1} {2} &\ frac {7} {2}\\ end {array}\ derecha)\\ &\ overset {-\ frac {1} {2} R_2+ R_1} {\ text {}\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 &\ frac {1} {2} {2} &\ frac {5} {2}\\ 0 & 0 &\ frac {1} {2} &\ frac {7} {2}\\ end {array}\ right)\ text {\ overset {2 R_3} {\ text {}\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 &\ frac {1} {2} &\ frac {5} {2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7\\ end {array}\ right)\ text {}\\ &\ overset {-\ frac {1} {2} R_3+ R_2} {\ text {}\\ longrightarrow}\ text {}\ left (\ begin {array} {cc{ c|c} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7\\\ end {array}\ derecha)\ end {split}\ end {ecuación*}

    Esto nuevamente nos da la solución. Este procedimiento se llama el método de eliminación Gauss-Jordan.

    Es importante recordar a la hora de resolver cualquier sistema de ecuaciones a través de este o cualquier enfoque similar que en cualquier paso del procedimiento podemos reescribir la matriz en “formato de ecuación” para ayudarnos a interpretar el significado de la matriz aumentada.

    En nuestro primer ejemplo encontramos una solución única, sólo una triple, a saber,\((-1,-1,7)\text{,}\) que satisface las tres ecuaciones. Para un sistema que involucra tres incógnitas, ¿hay algún otro resultado posible? Para responder a esta pregunta, revisemos algunos datos básicos de la geometría analítica.

    La gráfica de una ecuación lineal en el espacio tridimensional es un plano. Así que geométricamente podemos visualizar las tres ecuaciones lineales como tres planos en tres espacios. Ciertamente los tres planos pueden cruzarse en un punto único, como en el primer ejemplo, o dos de los planos podrían ser paralelos. Si dos planos son paralelos, no hay puntos comunes de intersección; es decir, no hay triples de números reales que satisfagan las tres ecuaciones. Otra posibilidad es que los tres planos puedan cruzarse a lo largo de un eje o línea común. En este caso, habría un número infinito de triples de números reales en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Sin embargo, otra posibilidad sería si los dos primeros planos se cruzan en una línea, pero la línea es paralela a, pero no sobre, el tercer plano, dándonos ninguna solución. Finalmente, si las tres ecuaciones describen el mismo plano, el conjunto de soluciones sería ese plano.

    Podemos generalizar estas observaciones. En un sistema de ecuaciones\(n\) lineales,\(n\) incógnitas, puede haber

    1. una solución única,
    2. sin solución, o
    3. un número infinito de soluciones.

    Para ilustrar estos puntos, considere los siguientes ejemplos:

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A System with No Solutions

    Encuentre todas las soluciones para el sistema

    \ begin {ecuación*}\ begin {array} {l}\ text {} x_1 +3 x_2\ texto {} +x_3=2\\\ texto {} x_1\ texto {} +x_2 +5 x_3=4\\ 2 x_1+2 x_2+10 x_3=6\\ end {array}\ end {ecuación*}

    El lector puede verificar que la matriz aumentada de este sistema,\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 2 & 10 & 6 \\ \end{array} \right)\text{,}\) reduce a\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{array} \right)\text{.}\)

    Podemos intentar reducir aún más esta matriz si así lo deseamos. No obstante, cualquier reducción adicional de filas no cambiará sustancialmente la última fila, que, en forma de ecuación, es\(0x_1+ 0x_2+0x_3 = -2\text{,}\) o simplemente\(0=-2\text{.}\) Está claro que no podemos encontrar números reales\(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) y\(x_3\) eso va a satisfacer esta ecuación. De ahí que no podamos encontrar números reales que satisfagan las tres ecuaciones originales simultáneamente. Cuando esto ocurre, decimos que el sistema no tiene solución, o el conjunto de soluciones está vacío.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): A System with an Infinite Number of Solutions

    A continuación, intentemos encontrar todas las soluciones para:

    \[\begin{aligned} x_1+6 x_2+2 x_3&=1 \\ 2 x_1+x_2+3 x_3 &=2 \\ 4 x_1+2 x_2+6 x_3&=4 \end{aligned}\]

    La matriz aumentada para el sistema es

    \[\label{eq:8}\left(\begin{array}{ccc|c}1&6&2&1\\2&1&3&2\\4&2&6&4\end{array}\right)\]

    lo que reduce a

    \[\label{eq:9}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&\frac{16}{11}&1 \\ 0&1&\frac{1}{11}&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\]

    Si aplicamos operaciones de fila elementales adicionales a esta matriz, solo se volverá más complicada. En particular, no podemos conseguir uno en la tercera fila, tercera columna. Dado que la matriz está en la forma más simple, la expresaremos en formato de ecuación para ayudarnos a determinar el conjunto de soluciones.

    \[\begin{align} x_1 \quad+\frac{16}{11} x_3 &=1\nonumber \\ x_2+\frac{1}{11}x_3 &=0\label{eq:10} \\ 0&=0\nonumber\end{align}\]

    Cualquier número real satisfará la última ecuación. Sin embargo, la primera ecuación puede ser reescrita como la\(x_1 =1-\frac{16 }{11}x_3\text{,}\) que describe la coordenada\(x_1\) en términos de\(x_3\). De igual manera, la segunda ecuación da\(x_2\) en términos de\(x_3\). Una manera conveniente de enumerar las soluciones de este sistema es usar notación de conjunto. Si llamamos al conjunto de soluciones del sistema\(S\text{,}\) entonces

    \ begin {ecuación*} S =\ izquierda\ {\ izquierda (1-\ frac {16} {11} x_3, -\ frac {1} {11} x_3, x_3\ derecha)\ mid x_3\ in\ mathbb {R}\ derecha\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

    Lo que esto significa es que si quisiéramos enumerar todas las soluciones, reemplazaríamos\(x_3\) por todos los números posibles. Claramente, hay un número infinito de soluciones, dos de las cuales son\((1, 0, 0)\) y\((-15, -1, 11)\text{,}\) cuando\(x_3\) toma los valores 0 y 11, respectivamente.

    Una Palabra De Precaución: Con frecuencia podemos obtener respuestas de “diferente apariencia” al mismo problema cuando un sistema tiene un número infinito de soluciones. Supongamos que las soluciones establecidas en este ejemplo se informa que son\(A = \left\{\left(1+16x_2, x_2, -11x_3\right) \mid x_3\in \mathbb{R}\right\}\text{.}\) Ciertamente el resultado descrito por se\(S\) ve diferente\(A\text{.}\) al descrito por Para ver si realmente describen el mismo conjunto, deseamos determinar si cada solución producida en\(S\) puede generarse en \(A\text{.}\)Por ejemplo, la solución generada por\(S\) cuando\(x_3=11\) es\((-15, -1, 11)\text{.}\) El mismo triple se puede producir\(A\) tomando\(x_2= -1\text{.}\) Debemos demostrar que cada solución descrita en\(S\) se describe en\(A\) y, a la inversa, que cada solución descrita en \(A\)se describe en\(S\text{.}\) (Ver Ejercicio\(\PageIndex{6}\) de esta sección.)

    Para resumir el procedimiento en la técnica Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones, intentamos obtener 1's a lo largo de la diagonal principal de la matriz de coeficientes con 0 por encima y por debajo de la diagonal. Podemos encontrar al intentar esto que este objetivo no se puede completar, como en los dos últimos ejemplos que hemos visto. Dependiendo de la forma en que interpretemos los resultados en forma de ecuación, o reconocemos que no existe ninguna solución, o identificamos “variables libres” en las que se basan un número infinito de soluciones. Las formas matriciales finales que hemos producido en nuestros ejemplos se denominan formas escalonadas.

    En la práctica, los sistemas más grandes de ecuaciones lineales se resuelven usando computadoras. Generalmente, el algoritmo Gauss-Jordan es el más útil; sin embargo, también se utilizan ligeras variaciones de este algoritmo. Los diferentes enfoques comparten muchas de las mismas ventajas y desventajas. Las dos principales preocupaciones de todos los métodos son:

    1. minimizar las imprecisiones debidas a errores de redondez, y
    2. minimizando el tiempo de computadora.

    Algoritmo de Gauss-Jordan

    La precisión del método Gauss-Jordan se puede mejorar eligiendo siempre el elemento con el mayor valor absoluto como elemento pivote, como en el siguiente algoritmo.

    Algorithm\(\PageIndex{1}\): The Gauss-Jordan Algorithm

    Dada una ecuación matricial\(A x = b\text{,}\) donde A se\(n \times m\text{,}\) deja\(C\) ser la matriz aumentada\([A | b]\text{.}\) El proceso de reducción de filas a forma de escalón implica realizar el siguiente algoritmo donde\(C[i]\) está la\(i^{\textrm{th}}\) fila de\(C\text{.}\)

    1. i = 1
    2. j = 1
    3. mientras que i <= n y j <= m):
      1. maxi=i
      2. para k = i+1 a n:
        \(\quad\) si abs (C [k, j]) >abs (C [maxi, j]): entonces maxi=k
      3. si C [maxi, j]! = 0 entonces:
        1. intercambio filas i y maxi
        2. dividir cada entrada en la fila i por C [i, j]
        3. para u = i+1 a n:
          \(\quad\) restar C [u, j] *C [i] de C [u]
        4. i = i+1
      4. j=j+1

    Nota\(\PageIndex{1}\)

    Al final de este algoritmo, con la forma final de\(C\) usted puede volver a la forma de ecuación del sistema y una solución debe ser clara. En general,

    • Si alguna fila de\(C\) es todo ceros, se puede ignorar.
    • Si alguna fila de\(C\) tiene todas las entradas cero excepto la entrada en la\((m+1)^{\textrm{st}}\) posición, el sistema no tiene solución. De lo contrario, si una columna no tiene pivote, la variable que le corresponde es una variable libre. Las variables correspondientes a pivotes son variables básicas y se pueden expresar en términos de las variables libres.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Si aplicamos El Algoritmo Gauss-Jordan, Algoritmo\(\PageIndex{1}\) al sistema

    \ begin {ecuación*}\ begin {array} {l} 5 x_1+x_2+2 x_3+x_4=2\\ 3 x_1+x_2-2 x_3\ quad\ quad=5\\ x_1+x_2+3 x_3-x_4=-1\\ end {array}\ end {ecuación*}

    la matriz aumentada es

    \ begin {ecuation*}\ left (\ begin {array} {cccc|c} 5 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & -2 & 0 & 5\\ 1 & 1 & 3 & -1 & -1\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

    se reduce a

    \ begin {ecuation*}\ left (\ begin {array} {cccc|c} 1 & 0 & 0 &\ frac {1} {2} &\ frac {1} {2}\\ 0 & 1 & 0 & -\ frac {3} {2} &\ frac {3} {2} {2}\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ end {array} derecha)\ end {ecuación*}

    Por lo tanto,\(x_4\) es una variable libre en la solución y solución general del sistema es

    \ begin {ecuación*} x =\ left (\ begin {array} {c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ end {array}\ right) =\ text {}\ left (\ begin {array} {c}\ frac {1} {2} -\ frac {1} {2} x_4\\ frac {3} 2} +\ frac {3} {2} x_4\\ -1\\ x_4\\ final {matriz}\ derecha)\ final {ecuación*}

    Esta conclusión es fácil de ver si vuelves a las ecuaciones que representa el valor final que representa la matriz reducida.

    Nota de Sage Math - Reducción de Matriz

    Dada una matriz aumentada,\(C\text{,}\) existe un método de matriz llamado echelon_form que se puede utilizar para reducir filas\(C\text{.}\) Aquí está el resultado para el sistema en Ejemplo\(\PageIndex{4}\). En la asignación de un valor de matriz para\(C\text{,}\) notar que el primer argumento es QQ, lo que indica que las entradas deben ser números racionales. Siempre y cuando todas las entradas sean racionales, que es el caso aquí ya que los enteros son racionales, la matriz de filas reducidas será toda racional.

    C = Matrix(QQ,[[5,1,2,1,2],[3,1,-2,0,5],[1,1,3,-1,-1]])
C.echelon_form()

    Si no especificamos el conjunto del que se toman las entradas, se asumiría que son los enteros y no obtenemos una matriz completamente reducida en filas. Esto se debe a que el siguiente paso para trabajar con la siguiente salida implicaría multiplicar la fila 2 por\(\frac{1}{2}\) y la fila 3 por\(\frac{1}{9}\text{,}\) pero estos multiplicadores no son enteros.

    C2 = Matrix([[5,1,2,1,2],[3,1,-2,0,5],[1,1,3,-1,-1]])
C2.echelon_form()

    Si especificamos entradas reales, el resultado no es tan agradable y limpio como el resultado racional.

    C3 = Matrix(RR,[[5,1,2,1,2],[3,1,-2,0,5],[1,1,3,-1,-1]])
C3.echelon_form()

    El número predeterminado de decimales puede variar de lo que ve aquí, pero se puede controlar. El único número pequeño en la fila tres, columna cuatro, no es exactamente cero debido a la redondez, sino que podríamos simplemente establecerlo en cero.

    Ejercicios

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Resuelva los siguientes sistemas describiendo completamente los conjuntos de soluciones:

    1. \(\displaystyle \begin{array}{l} 2 x_1+x_2=3 \\ x_1-x_2=1 \\ \end{array}\)
    2. \(\displaystyle \begin{array}{l} 2 x_1+x_2+3 x_3=5 \\ 4 x_1+x_2+2 x_3=-1 \\ 8 x_1+2 x_2+4 x_3=-2 \\ \end{array}\)
    3. \(\displaystyle \begin{array}{l} x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1+2 x_2-x_3=-1 \\ x_1+3 x_2+x_3=5 \\ \end{array}\)
    4. \(\displaystyle \begin{array}{l} x_1-x_2+3 x_3=7 \\ x_1+3 x_2+x_3=4 \\ \end{array}\)
    Contestar
    1. \(\displaystyle \{(4/3, 1/3)\}\)
    2. \(\displaystyle \{(\frac{1}{2}x_3-3, -4 x_3 +11,x_3) \mid x_3 \in \mathbb{R}\} \)
    3. \(\displaystyle \{(-5, 14/5, 8/5)\}\)
    4. \(\displaystyle \left\{\left(6.25 - 2.5x_3, -0.75 + 0.5x_3 , x_3\right) \mid x_3 \in \mathbb{R}\right\}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Resuelva los siguientes sistemas describiendo completamente los conjuntos de soluciones:

    1. \(\displaystyle \begin{array}{l} 2 x_1+2 x_2+4 x_3=2 \\ 2 x_1+x_2+4 x_3=0 \\ 3 x_1+5 x_2+x_3=0 \\ \end{array}\)
    2. \(\displaystyle \begin{array}{l} 2 x_1+x_2+3 x_3=2 \\ 4 x_1+x_2+2 x_3=-1 \\ 8 x_1+2 x_2+4 x_3=4 \\ \end{array}\)
    3. \(\displaystyle \begin{array}{l} x_1+x_2+2 x_3+x_4=3 \\ x_1-x_2+3 x_3-x_4=-2 \\ 3 x_1+3 x_2+6 x_3+3 x_4=9 \\ \end{array}\)
    4. \(\displaystyle \begin{array}{l} 6 x_1+7 x_2+2 x_3=3 \\ 4 x_1+2 x_2+x_3=-2 \\ 6 x_1+x_2+x_3=1 \\ \end{array}\)
    5. \(\displaystyle \begin{array}{l} x_1+x_2-x_3+2 x_4=1 \\ x_1+2 x_2+3 x_3+x_4=5 \\ x_1+3 x_2+2 x_3-x_4=-1 \\ \end{array}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Dadas las matrices aumentadas finales a continuación del algoritmo Gauss-Jordan, identificar los conjuntos de soluciones. Identificar las variables básicas y libres, y describir el conjunto de soluciones del sistema original.

    1. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -5 & 0 & 1.2 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 2.6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4.5 \\ \end{array} \right)\)
    2. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 9 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\)
    3. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\)
    4. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right)\)
    Contestar
    1. Variables básicas:\(x_1\text{,}\)\(x_2\) y Variable\(x_4\text{.}\) libre: Conjunto de\(x_3\text{.}\) soluciones:\(\{(1.2+5x_3, 2.6-4 x_3, 4.5) \mid x_3 \in \mathbb{R}\}\)
    2. Variables básicas:\(x_1\) y Variable\(x_2\text{.}\) libre:\(x_3\text{.}\) El conjunto de soluciones está vacío porque la última fila de la matriz se convierte en la ecuación inconsistente\(0=1\text{.}\)
    3. Variables básicas:\(x_1\) y Variable\(x_2\text{.}\) libre: Conjunto de\(x_3\text{.}\) soluciones:\(\left\{\left(-6 x_3 + 5, 2 x_3+1, x_3 \right) \mid x_3 \in \mathbb{R}\right\}\)
    4. Variables básicas:\(x_1\text{,}\)\(x_2\) y Variable\(x_3\text{.}\) libre: Conjunto de\(x_4\text{.}\) soluciones:\(\left\{\left(3 x_4 + 1, -2x_4 + 2, x_4 + 1, x_4\right) \mid x_4 \in \mathbb{R}\right\}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    1. Escribe los detalles de Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
    2. Escribe los detalles de Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
    3. Escribe los detalles de Ejemplo\(\PageIndex{4}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Resuelve los siguientes sistemas usando solo la aritmética mod 5. Sus soluciones deben ser\(n-\textrm{tuples}\) de\(\mathbb{Z}_5\text{.}\)

    1. \(\begin{array}{l} 2 x_1+ x_2=3 \\ x_1+4 x_2=1 \\ \end{array}\)(compare su solución con el sistema en 5 (a))
    2. \(\displaystyle \begin{array}{l} x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1+2 x_2+4 x_3=4 \\ x_1+3 x_2+3 x_3=0 \\ \end{array}\)
    Contestar
    1. \(\displaystyle \{(3,0)\}\)
    2. \(\displaystyle \{(3,0,4)\}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    1. Utilice el conjunto\(S\) de soluciones de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) para enumerar tres soluciones diferentes para el sistema dado. Después mostrar que cada una de estas soluciones puede ser descrita por el conjunto\(A\) en el mismo ejemplo.
    2. Demostrar que\(S = A\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dado un sistema de ecuaciones\(n\) lineales en\(n\) incógnitas en forma de matriz\(A X = b\text{,}\) probar que si\(b\) es una matriz de todos los ceros, entonces el conjunto de solución de\(A X = b\) es un subgrupo de\(\mathbb{R}^n\text{.}\)

    Contestar

    Prueba: Ya que\(b\) es la\(n\times 1\) matriz de\(0\{'\}\) s, llamémosla 0. Dejar\(S\) ser el conjunto de soluciones a\(AX=\) 0. Si\(X_1\) y\(X_2\) estar en\(S\). Entonces

    \[A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=0+0=0\nonumber\]

    así\(X_1+X_2∈S\); o en otras palabras,\(S\) se cierra bajo adición en\(\mathbb{R}^n\).

    La identidad de\(\mathbb{R}^n\) es 0, que está en\(S\). Por último,\(X\) déjese entrar\(S\). Entonces

    \[A(-X)=-(AX)=-0=0\nonumber\]

    y así también\(−X\) está en\(S\).

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