12.2: Inversión Matriz

Desarrollando el Proceso

En el Capítulo 5 definimos la inversa de una\(n \times n\) matriz. Señalamos que no todas las matrices tienen inversas, pero cuando existe la inversa de una matriz, es única. Esto nos permite definir la inversa de una\(n \times n\) matriz\(A\) como la matriz única\(B\) tal que\(A B = B A =I\text{,}\) donde\(I\) está la matriz de\(n \times n\) identidad. Para obtener alguna experiencia práctica, desarrollamos una fórmula que nos permitió determinar la inversa de las\(2\times 2\) matrices invertibles. Ahora utilizaremos el procedimiento Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales para computar las inversas, cuando existan, de\(n\times n\) matrices,\(n \geq 2\text{.}\) El siguiente procedimiento para una\(3\times 3\) matriz puede generalizarse para\(n\times n\) matrices,\(n\geq 2\text{.}\)

Dada la matriz\(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ \end{array} \right)\text{,}\) queremos encontrar su inversa, la matriz\(B=\left( \begin{array}{ccc} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \\ \end{array} \right)\text{,}\) si existe, tal que\(A B = I\) y\(B A = I\text{.}\) nos concentraremos en encontrar una matriz que satisfaga la primera ecuación y luego verificar que B también satisfaga la segunda ecuación.

La ecuación

\ begin {ecuación*}\ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 4\\ 3 & 5 & 1\\ end {array}\\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {ccc} x_ {11} & x_ {12} & x_ {13}\\ x_ {21} & x_ {22} & x_ {23}\\ x_ {31} & x_ {32} & x_ {33}\\\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

es equivalente a

\ begin {ecuación*}\ left (\ begin {array} {ccc} x_ {11} +x_ {21} +2 x_ {31} & x_ {12} +x_ {22} +2 x_ {32} & x_ {13} +x_ {23} +2 x_ {33}\\ 2 x_ {11} +x_ {21} +4 x_ {31} y 2 x_ {31} _ {12} +x_ {22} +4 x_ {32} y 2 x_ {13} +x_ {23} +4 x_ {33}\\ 3 x_ {11} +5 x_ {21} +x_ {31} y 3 x_ {12} +5 x_ {22} +x_ {32} & 3 x_ {13} +5 x_ {23} +x_ {33}\\\ fin { array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

Por definición de igualdad de matrices, esto nos da tres sistemas de ecuaciones para resolver. La matriz aumentada de uno de los sistemas, la que equipara las primeras columnas de las dos matrices es:

\[\label{eq:1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&1\\2&1&4&0\\3&5&1&0\end{array}\right)\]

Usando el algoritmo Gauss-Jordan, tenemos:

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 4 & 0\\ 3 & 5 & 1 & 0\\ end {array}\ right) &\ overset {-2 R_1+R_2} {\ longrightarrow}\ textrm {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & 0 & -2\\ 3 & amp; 5 & 1 & 0\\ end {array}\ derecha)\ overset {-3 R_1+R_3} {\ longrightarrow}\ textrm {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & 0 & -2\\ 0 & 2 & 2 & -5 & -3\\ end {array}\ derecha)\ &\ textrm {}\ overset {-1 R_2} {\ longrightarrow}\ textrm {}\ left (\ begin {array } {ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -5 & -3\\\ end {array}\ derecha)\\ &\ textrm {}\ overset {-R_2+R_1\ textrm {y} -2R_2+R_3} {\ longrightarrow}\ textrm {}\ izquierda (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 0 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -5 & amp; -7\\\ end {array}\ derecha)\\ &\ overset {-\ frac {1} {5} R_3} {\ longrightarrow}\ textrm {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 0 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7/5\\ end {array}\ derecha)\ overset {-2 R_3+R_1} {\ longrightarrow}\ textrm {}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\ frac {19} {5}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 &\ frac {7} {5}\\\ end {array}\ right)\\ end {split}\ end {ecuación*}

Entonces\(x_{11}= -19/5, x_{21}=2\) y\(x_{31}=7/5\text{,}\) que nos da la primera columna de\(B\text{.}\)

La forma matricial del sistema a obtener\(x_{12}\text{,}\)\(x_{22}\text{,}\) y\(x_{32}\text{,}\) la segunda columna de B, es:

\[\label{eq:2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&0\\2&1&4&1\\3&5&1&0\end{array}\right)\]

lo que reduce a

\[\label{eq:3}\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&\frac{9}{5} \\ 0&1&0&-1\\0&0&1&-\frac{2}{5}\end{array}\right)\]

Lo crítico a tener en cuenta aquí es que la matriz de coeficientes en\(\eqref{eq:2}\) es la misma que la matriz en\(\eqref{eq:1}\), de ahí que la secuencia de operaciones de fila que usamos en la reducción de filas sea la misma en ambos casos.

Para determinar la tercera columna de\(B\text{,}\) reducimos

\ begin {ecuación*}\ left (\ begin {array} {ccc|c} 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 4 & 0\\ 3 & 5 & 1 & 1 & 1\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

para obtener\(x_{13}= 2/5, x_{23}=0\) y\(x_{33}=-1/5\text{.}\) Aquí nuevamente es importante señalar que la secuencia de operaciones de fila utilizadas para resolver este sistema es exactamente la misma que las que usamos en el primer sistema. ¿Por qué no ahorrarnos una cantidad considerable de tiempo y esfuerzo y resolver los tres sistemas simultáneamente? Esto podemos hacer esto al aumentar la matriz de coeficientes por la matriz de identidad\(I\text{.}\) Tenemos entonces, aplicando la misma secuencia de operaciones de fila que la anterior,

\ begin {ecuation*}\ left (\ begin {array} {ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 & 1\\ end {array}\ right)\ longrightarrow\ left (\ begin {array} {ccc|ccc} 1 & 0 & -\ frac {19} {5} &\ frac {9} {5} &\ frac {2} {5}\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 &\ frac {7} {5} & -\ frac {2} {5} & -\ frac {1} {5}\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

Así que

\ begin {ecuación*} B =\ textrm {}\ left (\ begin {array} {ccc} -\ frac {19} {5} &\ frac {9} {5} &\ frac {2} {5}\ 2 & -1 & 0\\ frac {7} {5} & -\ frac {2} {5} & -\ frac {1} 5}\\\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

El lector debe verificar eso\(B A = I\) para que\(A ^{-1} = B\text{.}\)

Método general para computar inversos

Como indica el siguiente teorema, la verificación que no\(B A = I\) es necesaria. La prueba del teorema está fuera del alcance de este texto. El lector interesado lo puede encontrar en la mayoría de los textos de álgebra lineal.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

\(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Si se\(B\) puede encontrar una matriz tal que\(A B = I\text{,}\)\(B A = I\text{,}\) entonces para que\(B = A^{-1}\text{.}\) De hecho, para\(A^{-1}\text{,}\) encontrarnos solo necesitamos encontrar una matriz\(B\) que satisfaga una de las dos condiciones\(A B = I\) o\(B A = I\text{.}\)

Del capítulo 5 y de nuestras discusiones en este capítulo queda claro que no todas las\(n \times n\) matrices tienen inversas. ¿Cómo determinamos si una matriz tiene una inversa usando este método? La respuesta es bastante simple: la técnica que desarrollamos para calcular inversos es un enfoque matricial para resolver varios sistemas de ecuaciones simultáneamente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Recognition of a Non-Invertible Matrix

El lector puede verificar que si\(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \\ 0 & 5 & 8 \\ \end{array} \right)\) entonces la matriz aumentada se\(\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) reduce a

\[\label{eq:4}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\0&5&8&0&0&1\end{array}\right)\]

Si bien esta matriz se puede reducir aún más por filas, no es necesario hacerlo ya que, en forma de ecuación, tenemos:

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(\begin{array}{l} x_{11}+2 x_{21}+x_{31}=1 \\ \textrm{ }0=1 \\ \textrm{ }5 x_{21}+8 x_{31}=0 \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{l} x_{12}+2 x_{22}+x_{32}=0 \\ \textrm{ }0=1 \\ \textrm{ }5 x_{22}+8 x_{32}=0 \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{l} x_{13}+2 x_{23}+x_{33}=0 \\ \textrm{ }0=0 \\ \textrm{ }5 x_{23}+8 x_{33}=1 \\ \end{array}\)

Claramente, no hay soluciones a los dos primeros sistemas, por lo tanto,\(A^{-1}\) no existe. De esta discusión debería ser obvio para el lector que la fila cero de la matriz de coeficientes junto con la entrada distinta de cero en la cuarta columna de esa fila en matriz nos\(\eqref{eq:4}\) dice que\(A^{-1}\) no existe.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Con el fin de desarrollar una comprensión de la técnica de esta sección, elaborar todos los detalles de Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice el método de esta sección para encontrar las inversas de las siguientes matrices siempre que sea posible. Si no existe una inversa, explique por qué.

1. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{array} \right)\)
2. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 0 & 3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ \end{array} \right)\)
3. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right)\)
4. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -3 \\ \end{array} \right)\)
5. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 6 & 7 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \\ 6 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\)
6. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 8 & 2 & 4 \\ \end{array} \right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice el método de esta sección para encontrar las inversas de las siguientes matrices siempre que sea posible. Si no existe una inversa, explique por qué.

1. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{3} & 2 \\ \frac{1}{5} & -1 \\ \end{array} \right)\)
2. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)\)
3. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right)\)
4. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right)\)
5. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right)\)
6. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \end{array} \right)\)

Responder

1. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cc} \frac{15}{11} & \frac{30}{11} \\ \frac{3}{11} & -\frac{5}{11} \\ \end{array} \right)\)
2. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc|c} -20 & \frac{21}{2} & \frac{9}{2} & -\frac{3}{2} \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -4 & 2 & 1 & 0 \\ 7 & -\frac{7}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\)
3. El inverso no existe. Cuando la matriz aumentada se reduce en filas (ver abajo), la última fila de la primera mitad no se puede manipular para que coincida con la matriz de identidad.
4. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \\ -4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right)\)
5. El inverso no existe.
6. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \\ \end{array} \right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Encuentra las inversas de las siguientes matrices.
   1. \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right)\)
   2. \(\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{3}{4} \\ \end{array} \right)\)
2. Si\(D\) es una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son distintas de cero, lo que es\(D^{-1}\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Expresar cada sistema de ecuaciones en el Ejercicio 12.1.1 en la forma\(A x = B\text{.}\) Cuando sea posible, resuelva cada sistema encontrando primero la inversa de la matriz de coeficientes.

Responder

Las soluciones se encuentran en la sección de solución de la Sección 12.1, Ejercicio 12.1.1, Ilustramos con el esquema de la solución a la parte (c). La versión matricial del sistema es

\[\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&2&-1\\1&3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\5\end{array}\right)\nonumber\]

Calculamos la inversa de la matriz de coeficientes y obtenemos

\[A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&2&-1\\1&3&1\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}5&5&-5\\-2&-1&3\\1&-2&1\end{array}\right)\nonumber\]

y

\[\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ \frac{14}{5} \\ \frac{8}{5}\end{array}\right)\nonumber\]