1.1: Declaraciones
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una frase que sea verdadera o falsa
- Todos los números primos son impares.
- Algunos árboles tienen hojas y algunos árboles tienen agujas.
- Si prestas atención en clase y trabajas a través de todos los problemas de tarea, entonces te irá bien en este curso.
parte de una declaración lógica que podría considerarse una declaración por sí misma
“Algunos árboles tienen hojas” es una subdeclaración de la sentencia 2 en Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
no contiene ninguna subdeclaración apropiada
contiene dos o más subsentencias
una palabra de conexión entre subsentencias en una sentencia compuesta
Reconsiderando las declaraciones en Ejemplo\(\PageIndex{1}\):
- la declaración 1 es simple;
- el enunciado 2 es una declaración compuesta compuesta por dos subsentencias (simples) vinculadas por el conectivo “y”; y
- declaración 3 es una declaración compuesta compuesta compuesta por dos subsentencias enlazadas por el conectivo “si... entonces...”, donde la subdeclaración que constituye la parte “si” es en sí misma una declaración compuesta.
Las subsentencias en una declaración compuesta pueden relacionarse entre sí por conectivos de varias maneras.
| negación | “no” |
| conjuración | “y” |
| disyunción | “o” |
| condicional | “si... entonces...” |
| bicondicional | “si y sólo si” |
Dadas las declaraciones\(A\) y\(B\), utilizamos estas conectivas para construir nuevas declaraciones:
| negación de\(A\) | no\(A\) |
| conjunción de\(A\) y\(B\) | \(A\)y\(B\) |
| disyunción de\(A\) y\(B\) | \(A\)o\(B\) |
| condicional donde\(A\) implica\(B\) | si\(A\) entonces\(B\) |
| bicondicional que involucra\(A\) y\(B\) | \(A\)si y solo si\(B\) |
OBSERVACIÓN\(\PageIndex{1}\)
- Todas las declaraciones que consideraremos se pueden construir a partir de un número finito de declaraciones simples y modificarlas/uniéndolas usando conectivas como las anteriores.
- Siempre tome “\(A\)o\(B\)” para significar “\(A\)\(B\)o ambos” (conocido como inclusivo o). Sin embargo, en el lenguaje cotidiano puede ser razonable tomar “cualquiera\(A\) o\(B\)” para significar “(\(A\)o\(B\)) y no (\(A\)y\(B\))” (conocido como exclusivo o).
- Los conectivos condicionales y bicondicionales son en realidad superfluos —se pueden construir a partir de los tres primeros. (Ver Ejemplo Trabajado 2.1.1 y Ejercicio 2.5.5.) Pero ocurren con frecuencia, y tales construcciones de otros conectivos oscurecen su significado, por lo que es más conveniente incluir estos dos conectivos en nuestra lista de conectivos básicos.
Una conversación.
| Alice | Está lloviendo. |
| Bob | No, no lo es. |
| Alice | O está lloviendo o no lo está. |
| Bob | ¿Cómo podemos decidir? |
| Alice | Si salimos afuera y nos mojamos, entonces está lloviendo. |
| Bob | Nos mojaríamos afuera si los aspersores están encendidos, también. |
| Alice | ¡No seas tonto! |
| Alice (continuando...) | Nos mojaremos si llueve, y esta es la única forma en que nos mojaremos. |
Reescribamos la conversación anterior para identificar claramente las subdeclaraciones y los conectivos.
| Alice | está lloviendo |
| Bob | no (está lloviendo) |
| Alice | (está lloviendo) o (no (está lloviendo)) |
| Bob | [¡no es una declaración!] |
| Alice | si ((estamos afuera) y (nos mojamos)) entonces (está lloviendo) |
| Bob | si ((estamos afuera) y (los aspersores están encendidos)) entonces (nos mojamos) |
| Alice | [¡no es una declaración!] |
| Bob | si (estamos afuera) entonces ((nos mojamos) si y solo si (está lloviendo)) |
Test\(\PageIndex{1}\): Checking Whether a Sentence is a Logical Statement
Si\(S\) es una oración en idioma inglés y la frase “Es cierto que\(S\)” tiene sentido como oración en idioma inglés, entonces\(S\) es una declaración lógica.
Estrictamente hablando, muchas declaraciones matemáticas no son afirmaciones lógicas, por una razón diferente a la utilizada en la prueba anterior.
La frase “\(f\)es una función diferenciable” no es una declaración lógica, ya que si es verdadera o falsa depende de la variable libre\(f\text{.}\) Por ejemplo, si sustituimos la función\(f(x) = x\) en esta afirmación, la declaración se vuelve verdadera. No obstante, si sustituimos la función\(f(x) = \vert x \vert \text{,}\) la sentencia se vuelve falsa. Vamos a tratar este tema en el Capítulo 4.