1.6: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(p\text{,}\)\(q\text{,}\) y\(r\) representar las siguientes declaraciones.

\ begin {align*} p\ colon\ quad &\ text {El juego está encendido.}\\ q\ colon\ quad &\ text {Las palomitas de maíz están listas.}\\ r\ colon\ quad &\ text {Joe es feliz.} \ end {alinear*}

Supongamos que la siguiente declaración compuesta es verdadera.

Si el juego está encendido y las palomitas están listas, entonces Joe está feliz.

Sin embargo, acabas de visitar la habitación de la residencia de Joe y descubriste que Joe no está contento a pesar de que el juego está encendido. ¿Qué se puede concluir sobre las palomitas de maíz? Usa una tabla de verdad para justificar tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Considera la afirmación lógica\((p \land q_1) \rightarrow (q_1 \lor q_2)\text{.}\) Parcialmente traducida, esta afirmación dice:

si\(p\) y ambos\(q_1\) son verdaderos, entonces al menos uno de\(q_1\) y\(q_2\) es cierto.

¿Esperaría que esta afirmación sea una tautología? ... ¿una contradicción? ... ¿tampoco?

Usa una tabla de verdad para verificar.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

El mago Hatty Porrer está estudiando lógica en Cowpimples School for Sund-Rate Wizards. Como ejercicio, está llenando la tabla de la verdad para el condicional

\ comenzar {ecuación*} (r\ tierra s)\ fila derecha (r\ lor s)\ texto {.} \ end {ecuación*}

Pero olvida qué hacer por las líneas donde la parte “si” del condicional evalúa como falsa, por lo que sólo llega hasta aquí:

\(r\)	\(s\)	\(r \land s\)	\(r \lor s\)	\((r \land s) \rightarrow (r \lor s)\)
\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)
\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	?
\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(T\)	?
\(F\)	\(F\)	\(F\)	\(F\)	?

1. Ayuda a Hatty terminando su tarea para él.
2. Mientras estabas llenando la tabla de la verdad, Hatty se aburrió y abrió un portal a un universo paralelo. Parallel Hatty también está trabajando en la misma mesa de la verdad, y está atascado en el mismo lugar en el que estaba Hatty normal. No obstante, se nota que el libro de texto paralelo de Hatty está abierto a la página con la tabla de verdad para el condicional básico\(p \rightarrow q\text{,}\) y se ve de la siguiente manera.

\(p\)	\(q\)	\(p \rightarrow q\)
\(T\)	\(T\)	\(T\)
\(T\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(T\)	\(F\)
\(F\)	\(F\)	\(T\)

Termina el ejercicio paralelo de la tarea de Hatty. ¡Asegúrate de que al instructor paralelo de Hatty le guste el resultado!

3. Mientras terminabas la tarea paralela de Hatty, ¡Hatty se aburrió de nuevo y abrió un portal a otro universo paralelo! Paralelo Hatty número dos también está trabajando en la misma tabla de la verdad, y está atascado en el mismo lugar que estaban los dos Hattys anteriores. Esta vez, sin embargo, el libro de texto paralelo del número dos de Hatty dice que la tabla de la verdad para el condicional básico\(p \rightarrow q\) es la siguiente.

\(p\)	\(q\)	\(p \rightarrow q\)
\(T\)	\(T\)	\(T\)
\(T\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(T\)	\(T\)
\(F\)	\(F\)	\(F\)

Termina el ejercicio paralelo de la tarea de Hatty número dos. ¡Asegúrate de que el instructor paralelo número dos de Hatty aprobará!

4. ¡Nunca vas a creer lo que pasó mientras terminabas la tarea paralela de Hatty número dos! Sí, Hatty se volvió a aburrir y abrió un portal a un tercer universo paralelo. Paralelo Hatty número tres también está trabajando en la misma tabla de la verdad, y está atascado en el mismo lugar que estaban los tres Hattys anteriores. La tabla de la verdad para el condicional básico\(p \rightarrow q\) es diferente en paralelo al universo del número tres de Hatty, una vez más.

\(p\)	\(q\)	\(p \rightarrow q\)
\(T\)	\(T\)	\(T\)
\(T\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(T\)	\(F\)
\(F\)	\(F\)	\(F\)

Termina el ejercicio paralelo de la tarea de Hatty número tres. ¡Asegúrate de que el instructor paralelo número tres de Hatty le dará calificaciones completas!

5. Bien, entonces, ¿cuál es el punto de todo esto? La declaración\((r \land s) \rightarrow (r \lor s)\) podría leerse como:

Si\(r\) y\(s\) son ambas afirmaciones verdaderas, entonces al menos una de\(r\) y\(s\) es una declaración verdadera.

Esta afirmación condicional parece “obviamente cierta”. A partir de este ejemplo, ¿qué opinas del sistema de lógica de cada universo paralelo comparado con el nuestro?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(A,E,U\) son afirmaciones lógicas tales que\(U\) es una tautología y\(E\) es una contradicción.

1. Demostrar que siempre\(A \lor U\) es una tautología.
2. Demostrar que siempre\(A \land E\) es una contradicción.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) son declaraciones lógicas tales que\(A \Rightarrow B\) y\(B \Rightarrow C\text{.}\) deben\(A \Rightarrow C\text{?}\)