2.3: Converse, Inversa y Contrapositiva

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Relacionadas con el condicional\(p \rightarrow q\) hay tres variaciones importantes.

Definición: Converse

\(\displaystyle q \rightarrow p\)

Definición: Inversa

\(\displaystyle \neg p \rightarrow \neg q\)

Definición: Contrapositivo

\(\displaystyle \neg q \rightarrow \neg p\)

Teorema\(\PageIndex{1}\): Modus Tollens

Un condicional y su contrapositivo son equivalentes.

Prueba

Simplemente comparamos las tablas de la verdad.

\(p\)	\(q\)	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\(p\rightarrow q\)	\(\neg q \rightarrow \neg p\)
\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)
\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(F\)
\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)
\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)

Como las dos columnas de “salida” son idénticas, concluimos que las declaraciones son equivalentes.

Corolario\(\PageIndex{1}\): Modus Tollens for Inverse and Converse

La inversa y la inversa de un condicional son equivalentes.

Prueba: El inverso del condicional\(p \rightarrow q\) es\(\neg p \rightarrow \neg q\text{.}\) El contrapositivo de este nuevo condicional es el\(\neg \neg q \rightarrow \neg \neg p\text{,}\) que equivale a\(q \rightarrow p\) por doble negación.

Advertencia\(\PageIndex{1}\): Common Mistakes

Mezclando un condicional y su inverso.
Asumiendo que un condicional y su inverso son equivalentes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Related Conditionals are not All Equivalent

Supongamos que\(m\) es un número entero fijo pero no especificado que es mayor que\(2\text{.}\)

condicional	Si\(m\) es un número primo, entonces es un número impar.
contrapositivo	Si no\(m\) es un número impar, entonces no es un número primo.
converse	Si\(m\) es un número impar, entonces es un número primo.
inversa	Si no\(m\) es un número primo, entonces no es un número impar.

¡Sólo dos de estas cuatro afirmaciones son ciertas!

Supongamos que\(f(x)\) es una función fija pero no especificada.

condicional	Si\(f\) es continuo, entonces es diferenciable.
contrapositivo	Si no\(f\) es diferenciable, entonces no es continuo.
converse	Si\(f\) es diferenciable, entonces es continuo.
inversa	Si no\(f\) es continuo, entonces no es diferenciable.

¡Sólo dos de estas cuatro afirmaciones son ciertas!