2.3: Converse, Inversa y Contrapositiva
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Definición: Converse
\(\displaystyle q \rightarrow p\)
Definición: Inversa
\(\displaystyle \neg p \rightarrow \neg q\)
Definición: Contrapositivo
\(\displaystyle \neg q \rightarrow \neg p\)
Teorema\(\PageIndex{1}\): Modus Tollens
Un condicional y su contrapositivo son equivalentes.
- Prueba
-
Simplemente comparamos las tablas de la verdad.
\(p\) \(q\) \(\neg p\) \(\neg q\) \(p\rightarrow q\) \(\neg q \rightarrow \neg p\) \(T\) \(T\) \(F\) \(F\) \(T\) \(T\) \(T\) \(F\) \(F\) \(T\) \(F\) \(F\) \(F\) \(T\) \(T\) \(F\) \(T\) \(T\) \(F\) \(F\) \(T\) \(T\) \(T\) \(T\) Como las dos columnas de “salida” son idénticas, concluimos que las declaraciones son equivalentes.
Corolario\(\PageIndex{1}\): Modus Tollens for Inverse and Converse
La inversa y la inversa de un condicional son equivalentes.
- Prueba
-
El inverso del condicional\(p \rightarrow q\) es\(\neg p \rightarrow \neg q\text{.}\) El contrapositivo de este nuevo condicional es el\(\neg \neg q \rightarrow \neg \neg p\text{,}\) que equivale a\(q \rightarrow p\) por doble negación.
Advertencia\(\PageIndex{1}\): Common Mistakes
- Mezclando un condicional y su inverso.
- Asumiendo que un condicional y su inverso son equivalentes.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Related Conditionals are not All Equivalent
-
Supongamos que\(m\) es un número entero fijo pero no especificado que es mayor que\(2\text{.}\)
condicional Si\(m\) es un número primo, entonces es un número impar. contrapositivo Si no\(m\) es un número impar, entonces no es un número primo. converse Si\(m\) es un número impar, entonces es un número primo. inversa Si no\(m\) es un número primo, entonces no es un número impar.
¡Sólo dos de estas cuatro afirmaciones son ciertas!
-
Supongamos que\(f(x)\) es una función fija pero no especificada.
condicional Si\(f\) es continuo, entonces es diferenciable. contrapositivo Si no\(f\) es diferenciable, entonces no es continuo. converse Si\(f\) es diferenciable, entonces es continuo. inversa Si no\(f\) es continuo, entonces no es diferenciable.
¡Sólo dos de estas cuatro afirmaciones son ciertas!