2.5: Ejercicios

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Consideremos nuevamente las dos colecciones de declaraciones condicionales relacionadas en el Ejemplo 2.3.1.

Para cada una de estas colecciones, determinar cuáles dos de las cuatro afirmaciones relacionadas son verdaderas y cuáles dos son falsas. Para las dos declaraciones falsas de cada colección, demuéstrala proporcionando ejemplos donde las declaraciones sean falsas.
Dé un ejemplo de una declaración condicional que involucra objetos matemáticos para los cuales los cuatro condicionales, contrapositivos, conversos e inversos son todos verdaderos.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(U\) es una tautología y\(E\) es una contradicción.

\(P \land U \Leftrightarrow P\)Demuéstralo por cada declaración\(P\text{.}\)
\(P \lor E \Leftrightarrow P\)Demuéstralo por cada declaración\(P\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Considerar la equivalencia de declaraciones\(p \rightarrow (q_1 \lor q_2) \Leftrightarrow (p \land \neg q_1) \rightarrow q_2\text{.}\)

Utilice una tabla de verdad para verificar la equivalencia.
Usar cálculo proposicional para demostrar la equivalencia.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilizar tablas de verdad para establecer las equivalencias de doble negación, idempotencia, conmutatividad, asociatividad, distributividad y Ley de DeMorgan presentadas en la Proposición 2.2.1.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Este ejercicio le pide demostrar que el conectivo básico “si y solo si” se puede construir a partir de los conectivos básicos “no”, “y”, y “o”.

Utilice una tabla de verdad para probar la Regla 10.b de la Proposición 2.2.1.
A partir de la Regla 10.b de la Proposición 2.2.1, utilizar el cálculo proposicional para probar la equivalencia

\ begin {ecuación*} p\ izquierdaTrightarrow q\ Leftrightarrow (\ neg p\ lor q)\ tierra (p\ lor\ neg q)\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Utilice el Ejercicio 5 para demostrar que exclusivo o

\ comenzar {ecuación*} (p\ lor q)\ tierra\ neg (p\ tierra q)\ fin {ecuación*}

es equivalente a

\ comenzar {ecuación*} p\ izquierdafila\ neg q\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ver: Estado 2 de la observación 1.1.1 para la diferencia entre inclusivo o y exclusivo o.