5.1: Básico

Estudiar la lógica de las declaraciones individuales es un primer paso importante, pero en última instancia tendremos que analizar cómo las declaraciones se pueden combinar en un argumento (matemático, filosófico, político, o de otro tipo) que intente convencer a otros de que alguna conclusión particular es cierta.

Definición: Argumento

una colección finita de declaraciones, llamadas premisas o hipótesis, junto con una declaración final, llamada conclusión

\(A_1, A_2, \ldots, A_m \therefore C\)un argumento con premisas\(A_1, A_2, \ldots, A_m\) y conclusión\(C\)

\(\begin{array}{c} A_1 &\qquad \text{an argument with premises } A_1, A_2, \ldots, A_m \text{ and conclusion } C\\ A_2& \\ \vdots& \\ \dfrac{A_m }{C}& \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Argument in English

(premisa)	Si el mundo es plano, tiene una ventaja.
(premisa)	El mundo no tiene ventaja.
(conclusión)	Por lo tanto, el mundo no es plano.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Another argument in English

(premisa)	Si el mundo es redondo, existe un Titán llamado Atlas que lo sostiene en alto en los cielos.
(premisa)	El mundo es redondo.
(conclusión)	Por lo tanto, existe el Atlas Titán.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Yet another argument in English

(premisa)	Los rectángulos son objetos geométricos que tienen cuatro lados.
(premisa)	Los paralelogramos tienen cuatro lados.
(premisa)	Los tetraedros tienen cuatro lados.
(conclusión)	Por lo tanto, los paralelogramos y tetraedros son rectángulos.

Cuando analizamos un argumento, un componente del análisis debe ser verificar si su estructura lógica es válida o no, independientemente del contenido y verdad/falsedad de las declaraciones individuales que componen el argumento.

Pregunta\(\PageIndex{1}\)

De los tres argumentos de ejemplo en idioma inglés proporcionados anteriormente, ¿cuáles son “verdaderos”? ¿Cuáles son “lógicamente correctos”? ¿Hay alguna diferencia?

Definición: Argumento válido

siempre que todas las premisas sean verdaderas, la conclusión debe ser cierta también

Advertencia\(\PageIndex{1}\)

¡Si la conclusión de un argumento es realmente cierta es irrelevante para la validez del argumento! Es la combinación de posibilidades de verdad y falsedad de las premisas y conclusión juntas lo que determina si un argumento es válido.

Test\(\PageIndex{1}\): For validity of an argument in symbolic language

Si no hay elección de valores de verdad para las variables de declaración que simultáneamente hacen que las premisas sean todas verdaderas pero la conclusión falsa, entonces el argumento es válido.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Pruebe la validez del siguiente argumento.

\(\begin{aligned} &p \rightarrow q \\ &q \rightarrow r \\ &\hline p \rightarrow r\end{aligned}\)

Solución 1

Escribamos las tablas de verdad para las afirmaciones en el argumento. No obstante, sólo nos preocupan las filas de la tabla de verdad donde cada premisa es cierta, así que no nos molestaremos en completar ninguna fila donde una premisa termine siendo falsa.

			(pr)	(pr)	c)
\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(p \rightarrow q\)	\(q \rightarrow r\)	\(p \rightarrow r\)
\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(\checkmark\)
\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(\ast\)
\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(\ast\)	\(\ast\)
\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(F\)	\(\ast\)	\(\ast\)
\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(\checkmark\)
\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(\ast\)
\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(\checkmark\)
\(F\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(\checkmark\)

Como cada fila que resultó en ambas premisas verdaderas también resultó en la conclusión verdadera (como lo indica\(\checkmark\)), el argumento es válido. (El\(\ast\) símbolo indica un valor de verdad que no nos importa, ya que está en una fila con al menos una premisa falsa).

Solución 2 Solución alternativa

En lugar de elaborar toda la tabla de la verdad, consideremos la pregunta: ¿hay alguna manera posible de que la conclusión sea falsa pero todas las premisas son verdaderas? Comience con la siguiente fila de la tabla de verdad parcial.

			(pr)	(pr)	c)
\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(p \rightarrow q\)	\(q \rightarrow r\)	\(p \rightarrow r\)
			\(T\)	\(T\)	\(F\)

La conclusión sólo es falsa cuando\(p = T\) y\(r = F\text{;}\) rellenar estos en la fila. Ahora bien, ya que\(p = T\text{,}\) la primera premisa sólo puede ser cierta si\(q = T\text{;}\) llena esto en la fila.

			(pr)	(pr)	c)
\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(p \rightarrow q\)	\(q \rightarrow r\)	\(p \rightarrow r\)
\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)	\(\times\)

Hemos marcado esta fila como “incorrecta”, porque ¡\(q=T\)y\(r=F\) debería hacer falsa la segunda premisa! Entonces la fila de tabla de verdad anterior es inconsistente, y por lo tanto no hay manera de que la conclusión sea falsa y todas las premisas verdaderas. Concluir que el argumento es válido.

Remarcar\(\PageIndex{1}\)

El razonamiento en la solución Alternativa anterior es un ejemplo de una prueba por contradicción — ver Sección 6.9.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que el siguiente argumento está en vigencia.

Si\(n\) es par, entonces\(n\) es divisible por\(2\text{.}\)

Si\(n\) es impar, entonces\(n+1\) es par.

Si no\(n\) es divisible por\(2\text{,}\) entonces no\(n\) es divisible por\(4\text{.}\)

Por lo tanto, si no\(n\) es divisible para\(4\text{,}\) entonces\(n+1\) es par.

Solución

Introducir variables de declaración y escribir el argumento en forma simbólica.

\ begin {align*} p & =\ text {“} n\ text {es par”}\\ q & =\ text {“} n + 1\ text {es par”}\\ r & =\ text {“} n\ text {es divisible por} 2\ text {”}\\ s & =\ text {“} n\ text {es divisible por} 4\ text {”}\ end {alinear*}

\(\begin{aligned} &\phantom{\neg }p \rightarrow r \\ &\neg p \rightarrow q \\&\neg r \rightarrow \neg s \\ &\hline \neg s \rightarrow q\end{aligned}\)

Intenta construir una fila de tabla de verdad en la que todas las premisas sean verdaderas pero la conclusión sea falsa.

							(pr)	(pr)	(pr)	c)
\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(s\)	\(\neg p\)	\(\neg r\)	\(\neg s\)	\(p \rightarrow r\)	\(\neg p \rightarrow q\)	\(\neg r \rightarrow \neg s\)	\(\neg s \rightarrow q\)
							\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)

Comience con la fila de tabla de verdad parcial anterior. El condicional en la conclusión sólo puede ser falso cuando\(\neg s = T\) y\(q = F\text{;}\) rellenar estos en la fila, entrando también\(s = F\text{.}\) Ahora ya que\(q = F\text{,}\) la segunda premisa sólo será cierta cuando se\(\neg p = F\text{;}\) llene esto y\(p = T\) en la fila. Ahora ya que\(p = T\text{,}\) la primera premisa sólo será cierta cuando se\(r = T\text{;}\) llene esto y\(\neg r = F\) en la fila. Por último, verificar que nuestras elecciones de valores de verdad para\(p,q,r,s\) sean consistentes con el valor de verdad impuesto para la tercera premisa.

							(pr)	(pr)	(pr)	c)
\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(s\)	\(\neg p\)	\(\neg r\)	\(\neg s\)	\(p \rightarrow r\)	\(\neg p \rightarrow q\)	\(\neg r \rightarrow \neg s\)	\(\neg s \rightarrow q\)
\(T\)	\(F\)	\(T\)	\(F\)	\(F\)	\(F\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(F\)

Dado que existe una elección de valores de verdad para las variables de declaración que hace que todas las premisas sean verdaderas pero la conclusión falsa, el argumento no es válido.

Proposición\(\PageIndex{1}\)

1. Si la conclusión es una tautología, el argumento es automáticamente válido.
2. Si las premisas son todas contradicciones (es decir, lógicamente falsas), el argumento es automáticamente válido.
3. Si el argumento es válido y las premisas son todas tautologías, entonces la conclusión también debe ser una tautología.
4. Si el argumento es válido y la conclusión es una contradicción, entonces las premisas no pueden ser todas ciertas al mismo tiempo. (Es decir, en esta situación la conjunción de todas las premisas debe ser una contradicción.)

Remarcar\(\PageIndex{2}\)

1. En el análisis lógico de un argumento, no nos importa si las premisas son realmente verdaderas. Sólo nos importa que la conclusión se deduce de las premisas.
2. El orden de las premisas es irrelevante para la validez del argumento. Para los argumentos escritos en lengua inglesa, puede haber un orden preferido que mejor ilumine la validez o invalidez, pero esto es esencialmente solo estético desde el punto de vista del análisis lógico.

Verifica tu comprensión.

Verificar que un argumento\(A_1, A_2, \ldots, A_m \therefore C\) es válido si y solo si\(A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_m \Rightarrow C\text{.}\)