6.6: Demostrar el contrapositivo
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Recordar. Modus tollens:\(P \rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \rightarrow \neg P\text{.}\)
Para probar, en su lugar,\(P \Rightarrow Q\text{,}\) puede probar\(\neg Q \Rightarrow \neg P\text{.}\)
En el Ejemplo Trabajado 6.3.1, probamos que el cuadrado de un número par también es par. Por lo tanto, esto también constituye una prueba de la declaración contrapositiva: si el cuadrado de un número es impar, entonces ese número también es impar.
Demostrar que cada número primo mayor que\(2\) es impar.
Solución
Queremos probar el siguiente condicional universalmente cuantificado (“para todos\(p\)” omitido, dominio es enteros positivos).
condicional | if (\(p\)es primo y\(p>2\)) entonces\(p\) es impar. |
contrapositivo | si no\(p\) es impar, entonces no (\(p\)es primo y\(p>2\)) |
Subsitución DeMorgan | si no\(p\) es impar, entonces (no\(p\) es primo o\(p \le 2\)) |
Estos son todos equivalentes.
Vamos a probar la última afirmación: como en el procedimiento para probar condicionales con una disyunción, comience asumiendo que no\(p\) es extraño y luego\(p \gt 2\text{.}\) debemos demostrar que no\(p\) es primo. Ya que no\(p\) es impar, es divisible por\(2\text{.}\) Pero ya que\(p \gt 2\text{,}\)\(p\) es divisible por un número distinto a\(1\) y a\(p\) sí mismo. Por lo tanto, no\(p\) es primo.
Comprueba tu comprensión. Intento Ejercicio 6.12.8.