6.12: Ejercicios
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Let\(n\) representar un entero con\(n \ge 2\text{.}\) Prove que\(n\) es primo si y solo si no\(n/m\) es un entero para cada entero\(m\) con\(2 \le m \lt \dfrac{n}{2}\text{.}\)
Let\(n\) representar un entero con\(n \ge 2\text{.}\) Supongamos\(p_1,p_2,\dotsc,p_\ell\) es una lista completa de números primos que son menores o iguales a\(n/2\text{.}\) Demostrar que\(n\) es primo si y solo si ninguno de la\(p_i\) división\(n\text{.}\) Cuidado: ¿La declaración es realmente verdadera en el caso\(n=2\text{?}\)\(n=3\text{?}\) (¿Por qué se debería dar especial consideración a estos casos?)
Llama a dos personas gemelas si comparten la misma madre y la misma fecha de nacimiento. Considera la afirmación: “si dos personas son gemelas, entonces comparten la misma fecha de nacimiento”.
- ¿Es verdad la afirmación?
- ¿Qué es lo contrario de esta afirmación? ¿Es verdad?
Demostrar directamente: La suma de dos números racionales es un número racional.
Demostrar directamente: Si\(n\) es par, entonces\(n^2\) es divisible por\(4\text{.}\)
Recordemos que el triángulo de desigualdad establece que\(\vert x+y \vert \le \vert x \vert + \vert y \vert\) para todos los números\(x\) y\(y\text{.}\)
Usa la desigualdad del triángulo para probar directamente:\(\vert x+y+z \vert \le \vert x \vert + \vert y \vert + \vert z \vert\) para todos los números\(x,y,z\text{.}\)
Demostrar por reducción a casos: siempre\(n^3 - n\) es divisible por\(3\text{.}\)
- Insinuación
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Casos de uso\(n = 3m, 3m+1, 3m+2\text{.}\)
Demostrar demostrando lo contrapositivo: si\(2^n - 1\) es primo, entonces\(n\) es primo.
- Insinuación
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Puede encontrar útil la siguiente fórmula de factorización de “diferencia de poderes”:
\ begin {ecuación*} x^m - y^m = (x-y) (x^ {m-1} + x^ {m-2} y + x^ {m-3} y^2 +\ cdots + x^2y^ {m-3} + x y^ {m-2} + y^ {m-1}). \ end {ecuación*}
Demostrar con contraejemplo que la siguiente declaración es falsa.
La suma de dos números irracionales cualesquiera es irracional.
(Ver Ejercicio 6.12.4.)
Demostrar lo bicondicional:\(n\) es incluso si y solo si\(n^2\) es divisible por\(4\text{.}\)
(Ver Ejercicio 6.12.5.)
Demostrar por contradicción: Si\(m\) y\(n\) son enteros tales que\(11m + 19n\) es impar, entonces uno\(m\) o\(n\) (o ambos) deben ser impares.
Demostrar por contradicción: Por\(x,y>0\text{,}\)\(\sqrt{x+y} \ne \sqrt{x} + \sqrt{y}\text{.}\)
Demostrar por contradicción: La suma de un número racional y un número irracional es irracional.
(Ver Ejercicio 6.12.4 y Ejercicio 6.12.9.)
Demostrar que si\(\ell\text{,}\)\(m\text{,}\) y\(n\) son enteros tales que\(\ell\)\(\ell\) divide\(m\) y divide\(n\text{,}\) entonces\(\ell\) divide\(mn\text{.}\)
Demostrar que si\(\ell\text{,}\)\(m\text{,}\) y\(n\) son enteros tales que\(mn\) divide\(\ell\text{,}\) entonces ambos\(m\) y\(n\) dividen\(\ell\text{.}\)
Supongamos que\(m\) y\(n\) son enteros, y\(p\) es un número primo. Demostrar que si\(p\) no divide el producto\(mn\text{,}\) entonces\(p\) no puede dividir ninguno de\(m\) o\(n\text{.}\)
Trabajar con una definición. Los ejercicios 17—19 se refieren a las siguientes definiciones.
Un número cuadrado es un número entero que es igual al cuadrado de algún entero. Un entero está libre de cuadrados si no es divisible por ningún número cuadrado que no sea\(1\text{.}\)
Para cada una de las siguientes, proporcione una prueba que justifique su respuesta.
- ¿Es\(0\) un número cuadrado? ¿Es cuadrado gratis?
- ¿Existe un número cuadrado negativo?
- ¿Cada número negativo cuadrado está libre?
- ¿Cada número primo cuadrado es gratis?
- ¿Cada número cuadrado libre es primo?
- ¿Existe un número entero que sea tanto un número cuadrado como un cuadrado libre?
Demostrar que un número positivo\(n\) está libre de cuadrados si y solo si por cada factorización\(n = ab\text{,}\) los enteros\(a\) y\(b\) no comparten un factor común distinto de\(1\text{.}\)
Demostrar que un número positivo es libre de cuadrados si y sólo si no es divisible por el cuadrado de un número primo.
Un par de números primos\(p_1,p_2\) se llama par primo gemelo si\(p_2 = p_1 + 2\text{.}\) Un número primo se llama primo aislado si no es parte de un par primo gemelo.
- Determine los primeros (es decir, los más pequeños) cuatro pares primos gemelos.
- Determinar los primeros (es decir, los más pequeños) dos primos aislados.
- Demostrar que si\(p, p+2\) es un par primo gemelo con\(p \ge 5\text{,}\) entonces\(p+1\) es divisible por\(6\text{.}\)
- Demostrar que si\(p, p+2\) es un par primo gemelo, entonces\(p-2,p\) y\(p+2,p+4\) no pueden ser pares primos gemelos.