6.11: Actividades
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- Escribe una definición técnica para la palabra auto.
- Usando solo tu definición técnica (es decir, ignorando tus nociones de sentido común de la palabra automóvil), decide si un camión de transporte debe llamarse automóvil. Entonces haz lo mismo con un tren.
Nota. No retrocedas y modifiques tu definición de carro; prueba el camión de transporte de objetos y entrena contra cualquier definición que inicialmente se te ocurrió en la Tarea a.
- ¿Cuál es el punto de esta actividad?
Un número cuadrado es un número entero que es igual al cuadrado de algún entero. Un entero está libre de cuadrados si no es divisible por ningún número cuadrado que no sea\(1\text{.}\)
- ¿Es\(0\) un número cuadrado? ¿Es cuadrado gratis?
- ¿Existe un número cuadrado negativo?
- ¿Cada número negativo cuadrado está libre?
- ¿Cada número primo cuadrado es gratis?
- ¿Cada número cuadrado libre es primo?
- ¿Existe un número entero que sea tanto un número cuadrado como un cuadrado libre?
La siguiente afirmación es un dato básico (y muy útil) sobre los números reales.
Desigualdad del Triángulo: Por cada par de números reales\(x\) y\(y\text{,}\)\(\vert x+y \vert \le \vert x \vert + \vert y \vert\text{.}\)
Utilice la afirmación anterior para probar directamente la siguiente versión extendida de la desigualdad, sin recurrir a considerar casos de positivo/negativo para ninguna de las variables.
Por cada triple de números reales\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\text{,}\)\(\vert x+y+z \vert \le \vert x \vert + \vert y \vert + \vert z \vert\text{.}\)
Observación. Usar la versión de dos números de la desigualdad para probar la versión de tres números es un ejemplo de razonamiento inductivo, algo que pronto investigaremos más a fondo.
Supongamos que estás analizando las reglas para un complicado juego de mesa, y has llegado a la siguiente realización.
Dado cualquier trío de magos distintos donde el primero esté zapping al segundo, también debe ocurrir al menos uno de los siguientes: el primero es zapping al tercero o el tercero es zapping al segundo.
Si se acercara a probar esta declaración utilizando los consejos que leyó sobre cómo manejar las declaraciones que implican disyunción en el Procedimiento 6.5.1, la primera frase de su prueba sería
Asumir\(\underline{ }\).
y la última frase de su prueba sería
Por lo tanto\(\underline{ }\).
¿Cuál es la diferencia entre probar lo contrapositivo y probar por contradicción?
- Un entero positivo que es mayor que\(1\) y no primo se llama compuesto.
Escribir una definición técnica para el concepto de número compuesto con un nivel de detalle similar al de la definición “más completa” de número primo dada en el Ejemplo 6.1.1.
Nota. No lo definas simplemente como “no primo”. Y asegúrate de que la igualdad no\(7 = 1 \times 7\) pueda ser utilizada para justificar la afirmación “\(7\)es compuesta” por tu definición (porque primo definitivamente no\(7\) es compuesto).
- Demostrar demostrando lo contrapositivo: Si\(2^n - 1\) es primo, entonces\(n\) es primo.
- Pista
-
Puede encontrar útil la siguiente fórmula de factorización de “diferencia de poderes”:
\ begin {ecuación*} a^m - b^m = (a-b) (a^ {m-1} + a^ {m-2} b + a^ {m-3} b^2 +\ cdots + a^2b^ {m-3} + ab^ {m-2} + b^ {m-1})\ text {.} \ end {ecuación*}
- Anote una definición técnica del término número racional.
- Demostrar directamente: La suma de dos números racionales es un número racional.
- Demostrar por contradicción: La suma de un número racional y un número irracional es irracional.
- Desmentir por contraejemplo: La suma de dos números irracionales es irracional.
Refiérase a Actividad\(\PageIndex{2}\).
- Demostrar que un número positivo\(n\) está libre de cuadrados si y solo si por cada factorización\(n = ab\text{,}\) los enteros\(a\) y\(b\) no comparten un factor común distinto de\(1\text{.}\)
- Demostrar que un número positivo es libre de cuadrados si y sólo si no es divisible por el cuadrado de un número primo.
Un par de números primos\(p_1,p_2\) se llama par primo gemelo si\(p_2 = p_1 + 2\text{.}\) Un número primo se llama primo aislado si no es parte de un par primo gemelo.
- Determine los primeros (es decir, los más pequeños) cuatro pares primos gemelos.
- Determinar los primeros (es decir, los más pequeños) dos primos aislados.
- Demostrar que si\(p, p+2\) es un par primo gemelo con\(p \ge 5\text{,}\) entonces\(p+1\) es divisible por\(6\text{.}\)
- Demostrar que si\(p, p+2\) es un par primo gemelo, entonces\(p-2,p\) y\(p+2,p+4\) no pueden ser pares primos gemelos.