8.3: Ejercicios

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Razonamiento en un sistema axiomático abstracto.

Los ejercicios 1—5 se refieren al sistema axiomático descrito en el Ejemplo 8.1.1.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Reescribir cada axioma del sistema y cada teorema posterior probado en la Sección 8.1, reemplazando las palabras woozle por punto, dorple por línea y gruñidos por mentiras. Llegue a un reemplazo para la terminología snarf buddies que sea consistente con estos términos primitivos de reemplazo. ¿Las declaraciones tienen más sentido ahora?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Reescribir el Teorema 8.1.2 como una declaración “si... entonces...”. Entonces formar lo contrario de este condicional. Ahora prueba lo contrario.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar cada una de las siguientes declaraciones. En sus pruebas, podrá utilizar como justificación cualquier combinación de los cinco axiomas en el sistema, el Teorema 8.1.1 y el Teorema 8.1.2 ya comprobados en este capítulo, y/o cualquiera de los enunciados de este ejercicio que ya haya probado.

No hay dorple que gruñe a todos los woozles.
Cada woozle gruñe al menos dos dorples distintos.
Cada dorple pertenece a al menos dos pares distintos de compañeros de snarf.
No hay lana que gruñe a todos los dorples.
Hay al menos un trío de dorplas distintas que no gruñen ningún woozle en común.
Cada woozle pertenece a un trío de woozles que no gruñen en común.
Cada par de woozles se puede aumentar a un trío de woozles que no gruñen en común.

Nota. El enunciado f y el estado g en el ejercicio\(\PageIndex{3}\) son efectivamente declaraciones diferentes y requieren pruebas separadas (y cada una de estas afirmaciones es diferente del Axioma 4).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Reescriba cada declaración en Ejercicio\(\PageIndex{3}\) usando los términos primitivos de reemplazo punto para woozle, línea para dorple, y se encuentra en para snarfs. También reemplaza snarf buddies por cualquier terminología que se te ocurrió en Ejercicio\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ahora considere el sistema con la versión revisada de Axioma 1. Demostrar que existen exactamente tres dorples.

Pista: Comienza con el primer diagrama en la prueba del Teorema 8.1.1. Ahora argumenta por contradicción: qué dicen los axiomas pasaría si agregaras una cuarta dorpla\(d_4\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Considera el siguiente sistema axiomático.

Términos primitivos.

mago (sustantivo),
zaps (verbo).

Axiomas.

Hay al menos tres magos distintos.
Si\(W_1\text{,}\)\(W_2\) son asistentes distintos, entonces\(W_1\) zaps\(W_2\) o\(W_2\) zaps\(W_1\text{.}\)
Ningún mago se zapa a sí mismo.
Si\(W_1\text{,}\)\(W_2\text{,}\)\(W_3\) son magos tales que\(W_1\) zaps\(W_2\) y\(W_2\) zaps\(W_3\text{,}\) luego\(W_1\) zaps\(W_3\text{.}\)

Notas

Recordemos que en matemáticas y lógica, siempre interpretamos “o” como inclusivo o: uno u otro o posiblemente ambos.
En Axioma 2 y Axioma 4, debes tratar\(W_1,W_2,W_3\) como variables o marcadores de posición que pueden ser “sustituidos en”. Estos axiomas no están declarando hechos sobre magos específicos; más bien, están declarando hechos sobre todos los magos, y sus relaciones entre ellos a través del zapping. En particular, el Axioma 4 podría (en principio) aplicarse a una colección\(W_1,W_2,W_3\) de magos donde\(W_1\) y de hecho\(W_3\) son el mismo mago.

Demostrar las siguientes afirmaciones basadas en este sistema axiomático.

Principio de No Represalias. Si el asistente\(A\) zaps wizard\(B\text{,}\) entonces\(B\) no zap\(A\text{.}\)
Teorema de amigos y enemigos. Si\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) son distintos asistentes tales que\(A\) zaps\(B\text{,}\) luego\(A\) zaps\(C\) o\(C\) zaps\(B\text{.}\)

Pista: Es posible que desee volver a consultar la Actividad 6.11.4.

Teorema de Bully. Dados cuatro magos distintos, exactamente uno de los cuatro zaps a todos los demás.

Pista: Primero argumentan que no puede haber más de uno de los cuatro que zaps a los otros tres. Entonces show hay al menos uno. Es posible que deba considerar varios casos — dibujar diagramas para ayudar.)