9.1: Conceptos básicos

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118208

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Definición: Object

cualquier entidad distinta

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some objects

El número\(2\text{.}\)
La línea numérica real.
Un mono.
Una canasta de pelotas de tenis.

Definición: Set

una colección de objetos

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Some sets

De nuestra lista de objetos de ejemplo anterior, consideraríamos intuitivamente

el número\(2\) para no ser un conjunto;
la línea numérica real para ser un conjunto ya que es una colección de puntos, cada uno representando un número real diferente;
un mono para no ser un conjunto; y
una canasta de pelotas de tenis para ser un conjunto ya que es una colección de pelotas de tenis (aunque la canasta en sí no es parte de este conjunto, solo el contenedor para los objetos que componen el conjunto).

No obstante, las respuestas anteriores pueden depender de tu punto de vista. Por ejemplo, un mono podría considerarse una colección de células. ¡Incluso el número a veces\(2\) se define como un conjunto! (Ver Ejemplo 11.4.2.)

Obrar\(\PageIndex{1}\)

Formalmente, dejamos objeto y conjunto como términos primitivos en el sistema axiomático de la teoría de conjuntos. La razón para dejar estos términos indefinidos es porque cualquier intento de definirlos nos llevaría a una interminable madriguera de definiciones: ¿qué es una “entidad”? ¿Qué es una “colección”?

No discutiremos ninguna base axiomática para la teoría de conjuntos, sino que confiaremos en la teoría de conjuntos ingenua.

Definición: Teoría de conjuntos ingenua

cualesquiera que sean los axiomas para la teoría de conjuntos que decidan los expertos, estamos seguros (por lo general, ver Advertencia 9.7.2) para asumir que todos los objetos matemáticos que nos gustaría que fueran conjuntos, serán

Necesitamos un término primitivo más para hacer viable la teoría de conjuntos.

Definición: Membresía

una propiedad de conjuntos relativa a otros objetos: objeto dado\(x\) y establecer\(S\text{,}\) exactamente una de las declaraciones “\(x\)es miembro de\(S\)” y “no\(x\) es miembro de\(S\)” es verdadera

Definición: Elemento

un objeto que es miembro de un conjunto

Definición:\(x \in S\)

objeto\(x\) es un elemento de conjunto\(S\)