9.2: Definición de conjuntos
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Recuerde que la notación matemática se trata de comunicar información matemática. Dado que un conjunto es definido por sus objetos miembros, para comunicar los detalles de un conjunto de objetos es necesario proporcionar un medio para decidir si algún objeto dado es o no un elemento del conjunto.
9.2.1: Elementos de listado
Una forma de comunicar los detalles de una definición de conjunto es enumerar o describir explícitamente todos los elementos del conjunto. Dicha lista debe estar encerrada entre llaves para indicar que los objetos de la lista se están recopilando en un conjunto.
Si escribimos
\ begin {ecuación*} A =\ {\ text {mono, pelota de tenis, el número} 2\}\ texto {,}\ fin {ecuación*}
entonces pretendemos que la letra\(A\) se convierta en una etiqueta que represente el conjunto que consiste en algún mono específico, alguna pelota de tenis específica, y el número\(2\text{.}\)
Aquí hay algunos conjuntos que contienen colecciones familiares de números. Observe cómo en los dos primeros ejemplos “enumeramos” los elementos proporcionando un patrón y luego usando... para implicar que el patrón continúa como se esperaba, y en los dos segundos ejemplos simplemente describimos cuáles son los elementos en palabras.
el conjunto\(\{ 0, 1, 2, \ldots \}\) de números naturales
el conjunto\(\{ \ldots , -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) de enteros
el conjunto de todas las fracciones, llame al conjunto de números racionales
el conjunto de todos los números decimales, llamado el conjunto de números reales
Tenga en cuenta lo siguiente para un conjunto definido por elementos de listado.
- El orden no importa. Por ejemplo,\(\{a,b\}\) y\(\{b,a\}\) son el mismo conjunto porque consisten precisamente en los mismos elementos miembros.
- La repetición no importa. Por ejemplo,\(\{a,a,b\}\) y\(\{a,b\}\) son el mismo conjunto porque consisten precisamente en los mismos elementos miembros.
9.2.2: Notación de condición de candidato
Otra forma de definir un conjunto es la notación de condición de candidato:
Esta notación proporciona un medio para decidir si un objeto es miembro del conjunto usando primero un conjunto ya definido como un grupo de “candidatos miembros” así como una condición o una lista de condiciones que cada candidato debe cumplir para ser realmente miembro.
Si escribimos\(S\) para el conjunto que se está definiendo,\(C\) para el conjunto de candidatos, y\(T\) para la prueba esos candidatos deben satisfacer para ser incluidos en\(S\) (es decir,\(T\) es un predicado con dominio\(C\)), entonces la notación candidato-condición toma la forma
y se puede leer como
\(S\)es el conjunto de aquellos elementos\(x\) en\(C\) los que\(T(x)\) es cierto.
Considera el conjunto
\ begin {ecuación*} A =\ {0, 3, 6, 9, 12,\ ldots\}\ texto {.} \ end {ecuación*}
Podríamos definir este conjunto de una manera más precisa (es decir, sin recurrir al uso de puntos) de la siguiente manera.
\ begin {ecuación*} A =\ {n\ in\ mathbb {N}\ vert n\ texto {divisible por} 3\}\ end {ecuación*}
La parte “\(n\in\mathbb{N}\)” a la izquierda del divisor nos dice que el grupo de “candidatos miembros” para\(A\) es el conjunto de números naturales, y la prueba a la derecha del divisor nos dice cómo decidir cuándo un número natural candidato dado\(n\) es realmente miembro de\(A\text{.}\) En palabras, deberías pensar en la definición anterior como diciendo lo siguiente.
Conjunto\(A\) consta de aquellos elementos de los\(\mathbb{N}\) cuales son divisibles por\(3\text{.}\)
9.2.3: Notación de parámetros de forma
Finalmente, los conjuntos se pueden definir por notación de parámetros de forma:
Esta notación describe a los miembros de un conjunto proporcionando una “forma” a la que los miembros deben conformarse. Por lo general, la “forma” se basa en variables de parámetros que pueden variar sobre un conjunto de posibilidades.
De nuevo considera el conjunto
\ begin {ecuación*} A =\ {0, 3, 6, 9, 12,\ ldots\}\ texto {.} \ end {ecuación*}
También podríamos definir este conjunto como
\ begin {ecuación*} A =\ {3n\ vert n\ in\ mathbb {N}\}\ texto {.} \ end {ecuación*}
Aquí, la forma de los elementos de\(A\) se da a la izquierda del divisor como “\(3\)multiplicado por un número”, donde el número es representado por el parámetro\(n\text{.}\) Entonces el rango permitido del parámetro número\(n\) se da a la derecha del divisor. En palabras, se debe pensar en la definición anterior como diciendo lo siguiente.
Los elementos de conjunto\(A\) son precisamente aquellos objetos que son\(3\) veces un número natural.
Podríamos definir el conjunto\(\mathbb{Q}\) de números racionales de esta manera:
\ begin {ecuación*}\ mathbb {Q} =\ {\ dfrac {m} {n}\ vert m, n\ in\ mathbb {Z},\, n\ ne 0\}\ text {.} \ end {ecuación*}
Esto dice que el conjunto\(\mathbb{Q}\) consiste en todos los símbolos de la forma “número sobre número”, donde los números pueden ser cualquier número entero, siempre y cuando el número inferior no sea cero. Sin embargo, hay que tener un poco de cuidado aquí, ya que permitimos que diferentes símbolos de esta forma representen el mismo elemento. Por ejemplo,
\ begin {align*}\ dfrac {3} {6} & =\ dfrac {1} {2}\ text {,} &\ dfrac {2} {-9} & =\ dfrac {-2} {9}\ text {,} &\ dfrac {0} {n} & =\ dfrac {0} {1}\ quad\ text {(cualquiera}\ ne 0\ text {).} \ end {alinear*}
Realmente deberíamos hacer que este elemento forme duplicación explícita en la definición del conjunto, pero hacer esto sería realmente engorroso y estaría expresando algo que se aprende en la primaria, por lo que generalmente se omite.
9.2.4: Juego vacío
Hay un conjunto especial, cuyos elementos son muy fáciles de enumerar.
el conjunto que no tiene elementos
el conjunto vacío
El conjunto vacío se define exigiendo que la sentencia “\(x\)es un elemento de\(\emptyset\)” siempre sea falsa, para cada objeto\(x\text{.}\)
¡Ten cuidado de no intentar inadvertidamente probar alguna propiedad de los miembros del conjunto vacío! Estarás demostrando una afirmación vacíamente verdadera. (Ver Sección 4.3.)