9.5: Producto cartesiano

Definición: producto cartesiano

el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de dos conjuntos dados\(A\) y\(B\text{,}\) donde el primer elemento de un par es de\(A\) y el segundo es de\(B\)

Definición:\(A \times B\)

el producto cartesiano de\(A\) y\(B\text{:}\)\(A \times B = \{(a,b) \vert a\in A,\; b\in B\} \)

Para conjuntos “pequeños”, podemos enumerar los elementos del producto cartesiano enumerando todas las formas de combinar un elemento del primero con un elemento del segundo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Cartesian product of “small” sets.

Supongamos\(A = \{ 1, 2 \}\) y\(B = \{ a, b, c \}\text{.}\) Entonces

\ comenzar {ecuación*} A\ veces B =\ {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A special subset of a certain Cartesian product.

Dejar\(\mathbb{N}^+\) representar los números naturales positivos:\(\mathbb{N}^+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}\text{.}\) Entonces podemos describir el producto cartesiano\(\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^+\) como

\ begin {ecuación*}\ mathbb {Z}\ veces\ mathbb {N} ^+ =\ {(m, n)\ vert m, n\ in\ mathbb {Z},\; n>0\}\ subseteq\ mathbb {Z}\ veces\ mathbb {Z}\ text {.} \ end {equation*}
Considerar el subconjunto

\ begin {ecuación*} A =\ {(m, n)\ in\ mathbb {Z}\ times\ mathbb {N} ^+\ vert n\ text {no tiene divisores en común con}\ vert m\ vert\}\ subseteq\ mathbb {Z}\ veces\ mathbb {N} ^+\ text {.} \ end {equation*}
¿Se\(A\) parece a algún conjunto más familiar...?

Extender.

Definir\(A \times B \times C = \{(a,b,c) \vert a \in A\text{, } b\in B\text{, } c\in C \}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(A = \{ 1, 2 \}\text{,}\)\(B = \{ a, b, c \}\text{,}\)\(C = \{ \alpha, \beta \}\text{.}\) Entonces,
\ comenzar {alinear*} A\ veces B\ veces C =\ {\;\; & (1, a,\ alpha),\, (1, a,\ beta),\, (1, b,\ alpha),\, (1, b,\ beta),\, (1, c,\ alpha),\, (1, c,\ beta),\,\ & (2, a,\ alpha),\, (2, a,\ beta),\, (2, b,\ alpha),\, (2, b,\ beta),\, (2, c,\ alpha),\, (2, b,\ alpha),\, (2, c,\ beta)\;\;\}\ final {alinear*}

Comentario\(\PageIndex{1}\)

Técnicamente, hay una diferencia entre los elementos de cada uno de los conjuntos

\ begin {align*} (A\ times B)\ times C & =\ {((a, b), c)\ vert a\ in A\ text {,} b\ in B\ text {,} c\ in C\}\ text {,}\\ A\ times (B\ times C) & =\ {(a, (b, c))\ vert a\ en A\ text {,} b\ en B\ texto {,} c\ en C\}\ texto {,}\\ A\ veces B\ veces C & =\ {(a, b, c)\ vert a\ en A\ texto {,} b\ en B\ texto {,} c\ en C\}\ texto { ,}\ end {align*}
pero es raro que alguien realmente observe este tecnicismo. Por lo general, consideramos que estos tres conjuntos son el mismo conjunto.

Utilizamos notación especial para productos cartesianos de un conjunto consigo mismo.

Definición:\(A^2\)

notación a media\(A \times A\)

Definición:\(A^3\)

notación a media\(A \times A \times A\)

Definición:\(A^n\)

notación para significar\(A \times A \times \ldots \times A\) que implica\(n\) “factores” de\(A\)

Y así sucesivamente.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Cartesian products in linear algebra.

Probablemente ya te hayas encontrado con la notación

\ begin {align*}\ mathbb {R} ^2 & =\ {(x, y)\ vert x, y\ in\ mathbb {R}\}\ text {,}\\ mathbb {R} ^3 & =\ {(x, y, z)\ vert x, y, z\ in\ mathbb {R}\}\ text {,}\\ &\ vdots\\ mathbb {R} ^n & =\ {(x_1, x_2,\ ldots, x_n)\ vert x_j\ in\ mathbb {R}\}\ text {,}\\ &\ vdots\ end {align*}
usado para representar \(2\)-,\(3\) -, y espacios vectoriales de mayor dimensión (real).