9.9: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar cada una de las reglas de operación establecidas en la Proposición 9.4.1. Utilice la prueba proporcionada de la primera de las Leyes de DeMorgan como modelo para sus pruebas.

Expresar relaciones usando los símbolos de la teoría de conjuntos.

En cada uno de los Ejercicios 2—4, se le da una colección de conjuntos (y posiblemente algunos elementos de esos conjuntos), una colección de símbolos y una colección de declaraciones sobre esos conjuntos y sus elementos. Utilizar los símbolos dados para expresar las declaraciones dadas en lenguaje simbólico.

Tenga en cuenta que puede haber más de una respuesta correcta para cada declaración.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Conjuntos:

\ begin {align*} A & =\ text {el conjunto de todos los estudiantes Augustana,}\\ R & =\ text {el conjunto de estudiantes agustana que asisten a clase regularmente,}\\ S & =\ text {el conjunto de estudiantes agustana que estudian diligentemente,}\\ P & =\ texto {el conjunto de estudiantes agustana que aprobarán todos sus cursos.}\ end { alinear*}

Símbolos:

\ begin {ecuación*} A,\ quad R,\ quad S,\ quad P,\ quad R^C,\ quad S^C,\ quad P^C,\ quad\ cap,\ quad\ copa,\ quad =,\ quad\ ne,\ quad\ subseteq,\ quad\ subsetneqq,\ quad\ varnothing\ text {.} \ end {ecuación*}

Declaraciones:

1. Todos los alumnos de Augustana que asistan a clase regularmente y estudian diligentemente pasarán todos sus cursos.
2. Algunos alumnos de Augustana asisten a clase con regularidad pero no estudian diligentemente.
3. Algunos estudiantes agustanos que estudian diligentemente seguirán reprobando un curso.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Recordemos que un número cuadrado es un entero que es igual al cuadrado de algún entero. (Véase la introducción anterior al Ejercicio 6.12.17 en la Sección 6.12.)

Conjuntos:

\ begin {align*} P & =\ text {el conjunto de números primos,}\\ E & =\ text {el conjunto de números pares,}\\ S & =\ text {el conjunto de números cuadrados.}\ end {alinear*}

Símbolos:

\ begin {ecuación*} 2,\ quad\ N,\ quad P,\ quad E,\ quad S,\ quad\ mathbb {N} ^c,\ quad P^C,\ quad e^C,\ quad S^C,\ quad\ in,\ quad\ cap,\ quad\ copa,\ quad =,\ quad\ ne,\ quad\ subseteq,\ quad\ subsetneqq,\ quad\ varnothing,\ quad\ {\;\}. \ end {ecuación*}

Declaraciones:

1. \(2\)es el único número par, primo.
2. Existen números cuadrados impares.
3. Ningún número primo es cuadrado.
4. Ningún número cuadrado es primo.
5. No es cierto que cada número natural sea par o primo.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Conjuntos:

\ begin {align*}\ mathscr {F} & =\ text {el conjunto de todas las funciones en una sola variable real,}\\\ mathscr {C} & =\ text {el conjunto de funciones continuas,}\\\ mathscr {D} & =\ text {el conjunto de funciones diferenciables,}\\\ mathscr {P} & =\ text {funciones no negativas}\ & =\ {f (x)\ vert f (x)\ ge 0\ texto {para todos} x\ texto {en el dominio de} f\}\ texto {.} \ end {alinear*}

Elementos:

\ begin {alinear*} f_1 (x) & = x^2 & f_2 (x) & =\ vert x\ vert & f_3 (x) & =\ tan x\ end {alinear*}

Símbolos:

\ begin {ecuación*}\ mathscr {F},\;\;\;\ mathscr {C},\;\;\ mathscr {D},\;\;\;\ mathscr {P},\;\;\;\ mathscr {F} ^c,\;\;\;\ mathscr {C} ^c,\;\;\;\ mathscr {D} ^c,\;\;\;\ mathscr {P} ^c,\;\;\; f_1 (x),\;\;\;\; f_2 (x),\;\;\; f_3 (x),\;\;\;\ in,\;\;\ cap,\;\;\;\ copa,\;\;\; =,\;\;\;\ ne,\;\;\;\ subseteq,\;\;\;\ subsetneqq,\;\;\;\ varnothing. \ end {ecuación*}

Declaraciones:

1. La función\(f_1(x)\) es diferenciable y no negativa.
2. La función\(f_2(x)\) es continua y no negativa, pero no diferenciable.
3. La función no\(f_3(x)\) es continua ni no negativa.
4. Cada función diferenciable es continua.
5. Algunas funciones continuas no son diferenciables.
6. No todas las funciones son continuas.

Juego de pruebas de igualdad

Para cada uno de los Ejercicios 5—8, ya sea probar formalmente la equivalencia dada de conjuntos (usando la Prueba para la Igualdad de Conjuntos) o demostrar que es falsa proporcionando un contraejemplo específico.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(A = (A \setminus B) \sqcup (A \cap B)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(A \setminus (A \setminus B) = B\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\((A \times B) \cup (C \times D) = (A \cup C) \times (B \cup D)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos que\(\Sigma\) es un alfabeto. Demostrar que\(\Sigma^{\ast}\) es la unión disjunta de los subconjuntos

\ begin {ecuación*}\ Sigma^ {\ ast} _0,\ Sigma^ {\ ast} _1,\ Sigma^ {\ ast} _2,\ dotsc,\ Sigma^ {\ ast} _n,\ dotsc\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Escribe los elementos de cada uno de los conjuntos

\ begin {align*} &\ mathscr {P} (\ varnothing), & &\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\ varnothing)\,), &\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\ varnothing)\,)\,), &\ mathscr r {P} (\,\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\ varnothing)\,)\,)\,)\ text {.} \ end {alinear*}

Asegúrate de tener todos los pares de aparatos ortopédicos\(\{\;\}\) que deberías tener.

Sin computarlo, hacer una conjetura sobre el número de elementos en el conjunto

\ begin {ecuación*}\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\,\ mathscr {P} (\ varnothing)\,)\,)\,)\,). \ end {ecuación*}

Propiedades de los conjuntos de potencia.

Para cada uno de los Ejercicios 11-14, ya sea probar formalmente la afirmación dada sobre conjuntos de poder o demostrar que es falsa proporcionando un contraejemplo específico.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\mathscr{P}(A \cup B) = \mathscr{P}(A) \cup \mathscr{P}(B)\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(\mathscr{P}(A \cap B) = \mathscr{P}(A) \cap \mathscr{P}(B)\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Si\(A \subseteq B\text{,}\) entonces\(\mathscr{P}(A) \subseteq \mathscr{P}(B)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Si\(A \subseteq B\text{,}\) entonces\(\mathscr{P}(B \setminus A) = \mathscr{P}(B) \setminus \mathscr{P}(A)\text{.}\)