10.7: Ejercicios
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Utilice la lógica predicada para escribir definiciones formales de función suryectiva, función inyectiva y función biyectiva. Asegúrate de declarar los dominios de tus variables libres.
Dejar\(A\) representar el conjunto de todos los universitarios y dejar que\(C\) sea el conjunto de todos los cursos universitarios. ¿La regla\(f:A \rightarrow C\) dada por
\ begin {equation*} f (a) = c\ text {si el estudiante está registrado en curso}\ end {equation*}
definir una función? Justifica tu respuesta.
Probando la bijectividad y determinando las inversas.
En cada uno de los Ejercicios 3—7, determinar si la función descrita es o no una biyección. Para aquellas funciones que son biyectivas, describa la función inversa; es decir, especifique las funciones inversas
- dominio,
- codominio, y
- regla de entrada y salida.
\(\Lambda = \{T, \, F\}\text{,}\)\(n: \Lambda\rightarrow \Lambda\)es la función de negación lógica\(n(p) = \neg p\text{.}\)
\(\mathscr{L}\)representa el conjunto de todas las declaraciones lógicas posibles,\(n: \mathscr{L} \rightarrow \mathscr{L}\) es la función de negación lógica\(N(A) = \neg A\) para\(A\) una declaración lógica.
(Nota: Puede tratar declaraciones equivalentes como la misma declaración.)
\(\mathscr{N}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\)es la función de negación numérica\(\mathscr{N}(n) = -n\text{.}\)
\(\Sigma = \{0,1\}\text{,}\)\(\Sigma^{\ast}\)representa el conjunto de todas las palabras binarias,\(c: \Sigma^{\ast} \rightarrow \Sigma^{\ast}\) es la función de complemento bit a bit definida por: si\(w\) es una palabra binaria, deja\(c(w)\) ser una palabra binaria de la misma longitud pero con\(0\) a en cada posición que\(w\) tiene a\(1\text{,}\) y a\(1\) en cada posición que\(w\) tiene un\(0\text{.}\) Por ejemplo,\(c(010) = 101\) y\(c(0000) = 1111\text{.}\)
\(U\)representa un conjunto universal,\(c: \mathscr{P}(U)\rightarrow \mathscr{P}(U)\) es la función de complemento\(C(A) = A^c\text{,}\) para\(A \subseteq U\text{.}\)
Dejar\(E \subseteq \mathbb{Z}\) representar el conjunto de enteros pares, y considerar la función\(f: {\mathbb{Z}}{E}\text{,}\)\(f(n) = 2n\text{.}\)
- Demostrar que\(f\) es una bijección.
- Describir la función inversa Es\(f^{-1}: E \rightarrow \mathbb{Z}\text{.}\) decir, describir la regla para determinar el número par\(f^{-1}(n)\text{,}\) dado\(n\text{.}\)
Como es habitual,\(\mathbb{R}^m = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}\) representa el producto cartesiano de\(m\) copias de\(\mathbb{R}\text{,}\) donde\(m\) es un entero positivo. Considere la función\(D: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^m\) definida por\(D(x) = (x,x,\ldots ,x)\text{.}\)
- Terminología.
-
La función\(D\) en este ejercicio se denomina incrustación diagonal. Podemos definir una incrustación diagonal similar\(D: A \hookrightarrow A^m\) para cada conjunto no vacío\(A\text{.}\)
- Demostrar que se\(D\) incrusta\(\mathbb{R}\) en\(\mathbb{R}^m\text{.}\)
- Rellene el lado derecho de la definición del conjunto en notación de condición de candidato para la imagen de\(D\) abajo.
\ begin {ecuación*} D (\ mathbb {R}) =\ {(x_1, x_2,\ ldots, x_m)\ in\ mathbb {R} ^m\ vert\ subrayado {\ qquad\ qquad}\}\ end {ecuación*}
- Proporcione una definición de conjunto para la gráfica\(\Delta(D)\) en notación de parámetros de forma. ¿De qué conjunto es\(\Delta(D)\) un subconjunto?
- ¿Puedes llegar a otras incrustaciones “naturales”\(\mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R}^m\text{?}\)
Let\(A = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) y let\(P \subseteq \mathscr{P}(A)\) representan el conjunto de todos los subconjuntos de los\(A\) cuales contienen un número impar de elementos. \(\nu(X)\)Definir\(\nu: P\rightarrow A\) configurando que sea el elemento “medio” de\(X\) cuando los elementos de\(X\) se enumeran en orden por tamaño. Por ejemplo,\(\nu(\{0,8,9\}) = 8\text{.}\)
¿Es\(\nu\) inyectable? ¿Surjectiva? ¿Biyectiva?
Let\(\Sigma = \{0,1\}\text{.}\) Recordemos que for\(n \in \N\text{,}\)\(\Sigma^{\ast}_n\) es el subconjunto de\(\Sigma^{\ast}\) que consiste en todas las palabras binarias de longitud\(n\text{.}\)
Supongamos que\(A = \{ a_1, a_2, \ldots , a_n \}\) es un conjunto con elementos\(n\) (distintos). Construir una biyección\(\mathscr{P}(A) \to \Sigma^{\ast}_n\text{.}\)
Llamar a una función con dominio\(\emptyset\) una función vacía.
- Verifica que cada función vacía sea inyectable.
- Insinuación
-
Utilice su expresión formal de inyección del Ejercicio 10.7.1, junto con lo aprendido en la Sección 4.3.
- Verificar que una función vacía con codominio vacío sea biyectiva.
- Insinuación
-
Ya has verificado la inyectividad de una función vacía de manera más general en la Tarea a. Para surjectividad en este entorno más específico, usa tu expresión formal de surjectiva del Ejercicio 10.7.1, junto con lo aprendido en la Sección 4.3.
Dejar\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\) ser funciones.
Dejar\(f: {A}{B}\) ser una función. Supongamos que existe una función\(g:B \rightarrow A\) tal que\(g \circ f = \id_A\) y\(f \circ g = \id_B\text{.}\)
Conjuntos de imágenes de función y conjuntos de imágenes inversas
En cada uno de los Ejercicios 15—18, considere la función abstracta\(f: {A}{B}\) y los subconjuntos\(A_1, A_2 \subseteq A\text{,}\)\(B_1, B_2 \subseteq B\text{.}\)
- Dibuja un diagrama de Venn que ilustra eso\(A_1 \subseteq f^{-1}(f(A_1))\text{.}\)
Incluye todos los conjuntos
\ begin {ecuación*} A,\;\;\; B,\;\; A_1,\;\; f (A_1),\ text {y}\;\; f^ {-1} (f (A_1))\ end {ecuación*}
en tu diagrama.
- Demostrar formalmente que\(A_1 \subseteq f^{-1}(f(A_1))\text{,}\) usando la Prueba de Subconjuntos.
- Idear un ejemplo explícito donde\(A_1 \subsetneqq f^{-1}(f(A_1))\text{.}\)
- Dibuja un diagrama que ilustre\(f(f^{-1}(B_1)) \subseteq B_1\text{.}\)
Incluye todos los conjuntos
\ begin {ecuación*} A,\;\;\; B,\;\; B_1,\;\; f^ {-1} (B_1),\;\;\ texto {y}\;\; f (f^ {-1} (B_1))\ end {ecuación*}
en tu diagrama.
- Demostrar formalmente que\(f(f^{-1}(B_1)) \subseteq B_1\text{,}\) usando la Prueba de Subconjuntos.
- Idear un ejemplo explícito donde\(f(f^{-1}(B_1)) \subsetneqq B_1\text{.}\)
- Dibuja un diagrama que ilustre\(f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)\text{.}\)
Incluye todos los conjuntos
\ begin {reunir*} A,\;\;\; B,\;\; A-1,\;\; A_2,\;\; A_1\ cap A_2,\;\; f (A_1),\;\; f (A_1)\ cap f (A_2),\;\;\ text {y}\;\; f (A_1 cap\ 2)\ end {reunir*}
en tu diagrama.
- Demostrar formalmente que\(f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)\text{,}\) usando la Prueba de Subconjuntos.
- Idear un ejemplo explícito donde\(f(A_1 \cap A_2) \subsetneqq f(A_1) \cap f(A_2)\text{.}\)
- Dibuja un diagrama que ilustre
\ begin {ecuación*} f^ {-1} (B_1\ cap B_2) = f^ {-1} (B_1)\ cap f^ {-1} (B_2)\ text {.} \ end {equation*}
Incluye todos los conjuntos
\ begin {reunir*} A,\;\;\; B,\;\; B_1,\;\; B_2,\;\; B_1\ cap B_2,\;\;\; f^ {-1} (B_1),\;\; f^ {-1} (B_2),\\ f^ {-1} (B_1)\ cap f^ {-1} (B_2),\;\;\ text {y}\;\; f^ {-1} (B_1\ cap B_2)\ end {reunir*}
en tu diagrama.
- Demostrar formalmente que\(f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)\text{,}\) usando la Prueba para Establecer Igualdad.
Supongamos que\(f: A\rightarrow B\) es una inyección. Utilizar\(f\) para idear una inyección\(F:\mathscr{P}(A) \hookrightarrow \mathscr{P}( B)\text{.}\) Asegúrese de verificar que su función propuesta\(F\) es inyectable. Si\(f\) es biyectiva, ¿\(F\)también será biyectiva?