10.6: Actividades

Actividad\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(n\) es un entero positivo fijo pero desconocido, y vamos a\(D: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n\) representar la función definida por\(D(x) = (x,x, \ldots ,x)\text{.}\)

Escribe una definición de conjunto en notación de condición candidata para el conjunto de imágenes\(D(\mathbb{R})\text{.}\) Luego haz lo mismo para la gráfica\(\Delta (D)\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{2}\)

1. Diseñar un ejemplo de una función\(\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) que sea biyectiva.
2. Diseñar un ejemplo de una función\(\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) que sea inyectiva pero no suryectiva.
3. Diseñar un ejemplo de una función\(\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) que sea suryectiva pero no inyectiva.

Tenga en cuenta que cuando define una función, no necesariamente tiene que dar una fórmula de entrada-salida; también puede usar una tabla de valores de entrada y salida o simplemente una descripción en palabras (es decir, un algoritmo) de cómo se va a producir una salida a partir de una entrada.

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Para cada función que\(f: A \rightarrow B\) se defina a continuación, lleve a cabo lo siguiente.

1. Decidir si la función es inyectiva. Usa la Prueba de Función Inyectiva para verificar tu respuesta.
2. Determinar algún patrón que todos los elementos de la imagen\(f(B)\) tengan en común. Es decir, si te entregaran un elemento arbitrario del codominio\(B\text{,}\) describe qué propiedad o propiedades usarías para determinar si estaba en el subconjunto\(f(A) \subseteq B\text{.}\)
3. Decidir si la función es suryectiva. Usa la Prueba de Función Surjectiva para verificar tu respuesta.

1. \(\Sigma = \{0,1\}\text{,}\)\(c: \Sigma^{\ast}\rightarrow \Sigma^{\ast}\)es la función de complemento bit a bit: para\(w\text{,}\) la palabra de entrada la palabra de salida\(c(w)\) es la palabra de la misma longitud que\(w\) pero con\(0\) a en cada posición que\(w\) tiene a\(1\text{,}\) y\(1\) a en cada posición que\(w\) tiene un \(0\text{.}\)
2. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}\text{,}\)\(f(x) = (x+1,x-1)\text{.}\)
3. \(A = \mathscr{P}\mathbb{N} \setminus \{\emptyset\}\text{,}\)\(m: A \rightarrow \mathbb{N} \text{,}\)\(m(X) = \)el número más pequeño en\(X\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{4}\)

Considerar\(\Sigma = \{0,1\}\text{,}\) y recordar que for\(n \in \mathbb{N}\text{,}\)\(\Sigma^{\ast}_n\) es el subconjunto de\(\Sigma^{\ast}\) que consiste en todas las palabras del alfabeto\(\Sigma\) con longitud\(n\text{.}\) Supongamos que\(A = \{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}\) es un conjunto con elementos\(n\) distintos. Construir una biyección\(\mathscr{P}(A) \to \Sigma^{\ast}_n\text{.}\)

Al intentar esta actividad, recuerde que cuando defina una función no necesariamente tiene que dar una fórmula de entrada-salida; también puede usar una descripción en palabras (es decir, un algoritmo) de cómo se va a producir una salida a partir de una entrada.

Actividad\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que\(A\) es un conjunto que definitivamente no contiene ningún gato, y vamos

\ begin {ecuación*} f:\ mathscr {P} (A)\ fila derecha\ mathscr {P} (A\ copa\ {\ texto {Gato gruñón}\})\ end {ecuación*}

representan la función definida por

\ begin {ecuación*} f (X) = X\ copa\ {\ texto {Gato gruñón}\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Verificar que\(f\) sea inyectivo.
2. Verificar que no\(f\) sea suryectiva.
3. Describir específicamente cómo hacer\(f\) biyectiva restringiendo el codominio.
4. Como todas las funciones biyectivas son invertibles, la versión biyectiva\(f\) de Tarea c tiene una inversa\(\inv{f}\text{.}\) Describa esta inversa especificando su
   1. dominio,
   2. codominio, y
   3. regla de entrada y salida.

Actividad\(\PageIndex{6}\)

Let\(\ell: \Sigma^{\ast} \rightarrow \mathbb{N}\) representar la función de longitud, usando alfabeto es\(\Sigma = \{\alpha,\omega\}\text{.}\)

1. Compute\(\ell(\ell ^{-1} (B))\) para\(B = \{1,10,100\}\text{.}\)
2. ¿Cuántos elementos hay\(\ell^{-1}(\ell(A))\) para\(A = \{\alpha\alpha, \alpha\omega, \omega\omega\alpha\omega \}\text{?}\)

Actividad\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(f: A \rightarrow B\) es una función, y\(B_1,B_2\) son subconjuntos de\(B\text{.}\)

1. Dibuja un diagrama de Venn que ilustra eso

\ begin {ecuación*} f^ {-1} (B_1\ cap B_2) = f^ {-1} (B_1)\ cap f^ {-1} (B_2)\ text {.} \ end {equation*}
Incluye todos los conjuntos

\ begin {reunir*} A,\;\;\; B,\;\; B_1,\;\; B_2,\;\; B_1\ cap B_2,\;\;\; f^ {-1} (B_1),\;\; f^ {-1} (B_2),\\ f^ {-1} (B_1)\ cap f^ {-1} (B_2),\;\;\ text {y}\;\; f^ {-1} (B_1\ cap B_2)\ end {reunión*}

en tu diagrama.

2. Demostrar formalmente que\(f^{-1} ( B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)\text{,}\) usando la Prueba para Establecer Igualdad.

Actividad\(\PageIndex{8}\)

(Nota: Las partes de esta pregunta son independientes entre sí.)

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\) son funciones.

1. Argumentan que si\(f\) y\(g\) son ambos suryectivos, entonces también lo es\(g \circ f\text{.}\)
2. Si\(g \circ f\) es suryectiva, ¿debe\(g\) ser? ¿Debe\(f\) ser?
3. Argumentan que si\(f\) y\(g\) son ambos inyectivos, entonces también lo es\(g \circ f\text{.}\)
4. Si\(g \circ f\) es inyectivo, ¿debe\(g\) serlo? ¿Debe\(f\) ser?