11.1: Secuencias
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el conjunto
\ begin {ecuación*}\ mathbb {N} _ {<m} =\ {n\ in\ mathbb {N}\ vert n\ lt m\} =\ {0,\, 1,\,\ ldots,\, m-1\}\ end {ecuación*}
El conjunto\(\mathbb{N}_{<m}\) tiene exactamente\(m\) elementos en él. En el Capítulo 12 utilizaremos estos conjuntos de conteo para, bueno, contar los elementos en otros conjuntos. Por ahora, los usaremos para indexar los objetos en una lista ordenada.
una función\(\mathbb{N}_{<m} \to A\)
una función\(\mathbb{N} \to A\)
uno de los elementos de imagen de la función que define la secuencia
el\(k^{th}\) término en una secuencia, de modo que si\(f: \mathbb{N}_{<m} \rightarrow A\) o\(f: \mathbb{N} \rightarrow A\) es una secuencia entonces\(a_k = f(k)\)
la colección de todos los términos en una secuencia
la colección de los términos en una secuencia hasta (e incluyendo) el\(m^{th}\) término (si la secuencia es finita, esto podría representar todos los términos en la secuencia para el\(m\) valor apropiado)
la colección de todos los términos en una secuencia, donde somos explícitos que es una secuencia infinita
- Por supuesto, no nos limitamos a la letra\(a\) para representar los términos de una secuencia. Podríamos escribir\(b_k\text{,}\) o\(s_k\text{,}\) etc..
- Si bien usamos notación tipo set\(\{\}\) para representar la colección de todos los términos en una secuencia, esta colección no es un conjunto, ya que el orden y la repetición importan.
La secuencia\(\{k^2\}\) tiene términos\(0, \, 1, \, 4, \, 9, \, 16, \, 25, \, \ldots , \, k^2, \, \ldots \text{.}\)
La secuencia
\ begin {ecuation*}\ left\ {(-1) ^k\ int_1^ {k+1}\ dfrac {dx} {x}\ right\}\ end {equation*}
tiene términos\(0, \, -\ln 2, \, \ln 3, \, -\ln 4, \, \ldots , \, (-1)^k\,\ln (k+1), \, \ldots \text{.}\)