11.2: Relaciones de recurrencia
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para una secuencia definida recursivamente, la fórmula que define el término general\(a_k\) recursivamente en los términos anteriores\(a_0, \, a_1, \, \ldots , \, a_{k-1}\)
Se deja caer una bola desde una altura de 100 cm. En cada rebote, vuelve a\(75\%\) de su altura anterior.
Dejar\(h_k\) ser la altura en centímetros después del\(k^{th}\) rebote. Entonces\(h_0 = 100\) y la relación de recurrencia es
\ begin {align*} h_k & =\ dfrac {3h_ {k-1}} {4}\ text {,} & k &\ ge 1\ text {.} \ end {align*}
Los términos de la secuencia son
\ begin {ecuación*} 100,\, 75,\, 56.25,\, 42.1875,\,\,\ ldots\ text {.} \ end {ecuación*}
Establecer\(a_0 = 1\text{,}\) y dejar\(a_k = k a_{k-1}\) para\(k \ge 1\text{.}\) Entonces los términos de la secuencia son
\ begin {ecuación*} 1,\, 1,\, 2,\, 6,\, 24,\, 120,\,\,\ ldots\ text {.} \ end {ecuación*}
La secuencia
\ begin {ecuación*} 0,\, 1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, 13,\, 21,\, 34,\ ldots\ end {ecuación*} se
pueden definir recursivamente por\(a_0 = 0\text{,}\)\(a_1 = 1\text{,}\) y
\ begin {align*} a_k & = a_ {k-1} + a_ {k-2}\ text {,} & k &\ ge 2\ text {.} \ end {align*}
Defina una secuencia\(\{A_k\}\) desde\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) recursivamente de la siguiente manera. Dejar\(A_0 = \emptyset\text{,}\) y tomar la relación de recurrencia para ser
\ begin {align*} a_K & = A_ {k-1}\ copa\ {k\}\ texto {,} & k &\ ge 1\ texto {.} \ end {align*}
Entonces los términos de la secuencia son
\ begin {ecuación*}\ conjunto vacío,\,\ {1\},\,\ {1,2\},\,\ {1,2,3\},\,\ ldots,\,\ {1, 2,\ ldots, k\},\,\ ldots\ text {.} \ end {ecuación*}