13.2: Propiedades
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Los siguientes hechos describen algunas relaciones de contabilidad y las operaciones establecidas. Se pueden usar para demostrar más fácilmente que un conjunto es contable o incontable usando la ya conocida cuenta o inccountabilidad de un conjunto relacionado.
- Cada subconjunto de\(\mathbb{N}\) es contable.
- Si existe una inyección\(A \hookrightarrow \mathbb{N}\text{,}\) entonces el conjunto\(A\) es contable.
- Supongamos que\(A \subseteq B\text{.}\) si\(B\) es contable, entonces también lo es\(A\text{.}\)
- Supongamos que\(A \subseteq B\text{.}\) si no\(A\) es contable, entonces también lo es\(B\text{.}\)
- Si\(A\) y\(B\) son contables, entonces\(A\cup B\) y\(A\cap B\) son ambos contables.
- Esquema de prueba.
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- Supongamos que\(A \subseteq \mathbb{N}\text{.}\) Si\(A\) es finito, entonces es contable por definición. Entonces supongamos que\(\vert A \vert = \infty\text{.}\) Podemos construir una secuencia\(\{a_k\}\) que contenga cada elemento de\(A\) exactamente una vez de la siguiente manera.
\ begin {align*} a_0 & =\ text {número más pequeño en} A,\\ a_1 & =\ text {siguiente número más pequeño en} A,\\ a_2 & =\ text {siguiente número más pequeño en} A,\\ &\;\ vdots\ end {align*}
Por lo tanto,\(A\) es contable.- Si\(f: A \hookrightarrow \mathbb{N}\) es inyectable, entonces\(f: A \rightarrow f(A)\) es una biyección, de manera que esa\(A\) y su imagen\(f(A)\) tengan el mismo tamaño. Pero\(f(A)\) es contable por el Estado 1, por lo que utilizando la definición de contable junto con el Hecho 12.3.2, concluimos que\(A\) es contable.
- Si\(B\) es contable, entonces por definición existe una biyección\(f: B \rightarrow \mathbb{N}\text{.}\) Entonces\(f\vert _A: A \rightarrow \mathbb{N}\) es una inyección. Aplicar Declaración 2.
- Esto es el contrapositivo de la Declaración 3, bajo el supuesto común\(A \subseteq B\text{.}\)
- Para\(A \cap B\text{,}\) considerar\(A \cap B \subseteq A\) y aplicar Declaración 3.
Ahora considere\(A \cup B\text{.}\) Por simplicidad, asumiremos para\(A \cap B = \emptyset\text{,}\) que\(A \cup B = A \sqcup B\text{.}\) Desde\(A\) y\(B\) sean contables, podamos escribir sus elementos como secuencias:
\ begin {alinear*} A & =\ {\, a_0,\, a_1,\, a_2,\,\ lpuntos\,\}, & B & =\ {\, b_0,\, b_1,\, b_2,\,\,\ lpuntos\,\}\ texto {.} \ end {align*}
Podemos entonces escribir los elementos de\(A \sqcup B\) en una secuencia intercalando estas dos secuencias:\ begin {ecuación*} A\ sqcup B =\ {\, a_0,\, b_0,\, a_1,\, b_1,\, a_2,\, b_2,\,\ ldots\,\,\}\ text {.} \ end {ecuación*}
Checkpoint\(\PageIndex{1}\)
Demostrar\(A \cup B\) es contable incluso en el caso\(A \cap B \ne \emptyset\text{.}\)
- Insinuación.
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Considera los conjuntos
\ begin {alinear*} A' & = A\ smallsetmenos (A\ cap B), & B' & = B\ smallsetmenos (A\ cap B), & C & = A'\ sqcup B'. \ end {align*}
Entonces\(A\cup B\) es la unión disjunta de\(C\) y\(A\cap B\text{.}\)
El conjunto de números primos es contable, ya que es un subconjunto de\(\mathbb{N}\text{.}\)
El intervalo unitario\((0,1)\) en la línea numérica real es incontable porque contiene el subconjunto incontable\(\scr{C}\) de Lemma 13.1.1.
El conjunto\(\mathbb{R}\) es incontable.
- Prueba
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Esto se desprende de Lema 13.1.1 y Declaración 4 de la Proposición\(\PageIndex{1}\).
El conjunto de productos cartesianos\(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) es incontable porque tiene un subconjunto incontable: el\(x\) eje -tiene el mismo tamaño que\(\mathbb{R}\text{.}\)