13.2: Propiedades

Los siguientes hechos describen algunas relaciones de contabilidad y las operaciones establecidas. Se pueden usar para demostrar más fácilmente que un conjunto es contable o incontable usando la ya conocida cuenta o inccountabilidad de un conjunto relacionado.

Proposición\(\PageIndex{1}\)

1. Cada subconjunto de\(\mathbb{N}\) es contable.
2. Si existe una inyección\(A \hookrightarrow \mathbb{N}\text{,}\) entonces el conjunto\(A\) es contable.
3. Supongamos que\(A \subseteq B\text{.}\) si\(B\) es contable, entonces también lo es\(A\text{.}\)
4. Supongamos que\(A \subseteq B\text{.}\) si no\(A\) es contable, entonces también lo es\(B\text{.}\)
5. Si\(A\) y\(B\) son contables, entonces\(A\cup B\) y\(A\cap B\) son ambos contables.

Esquema de prueba.

1. Supongamos que\(A \subseteq \mathbb{N}\text{.}\) Si\(A\) es finito, entonces es contable por definición. Entonces supongamos que\(\vert A \vert = \infty\text{.}\) Podemos construir una secuencia\(\{a_k\}\) que contenga cada elemento de\(A\) exactamente una vez de la siguiente manera.

\ begin {align*} a_0 & =\ text {número más pequeño en} A,\\ a_1 & =\ text {siguiente número más pequeño en} A,\\ a_2 & =\ text {siguiente número más pequeño en} A,\\ &\;\ vdots\ end {align*}
Por lo tanto,\(A\) es contable.

2. Si\(f: A \hookrightarrow \mathbb{N}\) es inyectable, entonces\(f: A \rightarrow f(A)\) es una biyección, de manera que esa\(A\) y su imagen\(f(A)\) tengan el mismo tamaño. Pero\(f(A)\) es contable por el Estado 1, por lo que utilizando la definición de contable junto con el Hecho 12.3.2, concluimos que\(A\) es contable.
3. Si\(B\) es contable, entonces por definición existe una biyección\(f: B \rightarrow \mathbb{N}\text{.}\) Entonces\(f\vert _A: A \rightarrow \mathbb{N}\) es una inyección. Aplicar Declaración 2.
4. Esto es el contrapositivo de la Declaración 3, bajo el supuesto común\(A \subseteq B\text{.}\)
5. Para\(A \cap B\text{,}\) considerar\(A \cap B \subseteq A\) y aplicar Declaración 3.

Ahora considere\(A \cup B\text{.}\) Por simplicidad, asumiremos para\(A \cap B = \emptyset\text{,}\) que\(A \cup B = A \sqcup B\text{.}\) Desde\(A\) y\(B\) sean contables, podamos escribir sus elementos como secuencias:

\ begin {alinear*} A & =\ {\, a_0,\, a_1,\, a_2,\,\ lpuntos\,\}, & B & =\ {\, b_0,\, b_1,\, b_2,\,\,\ lpuntos\,\}\ texto {.} \ end {align*}
Podemos entonces escribir los elementos de\(A \sqcup B\) en una secuencia intercalando estas dos secuencias:

\ begin {ecuación*} A\ sqcup B =\ {\, a_0,\, b_0,\, a_1,\, b_1,\, a_2,\, b_2,\,\ ldots\,\,\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Checkpoint\(\PageIndex{1}\)

Demostrar\(A \cup B\) es contable incluso en el caso\(A \cap B \ne \emptyset\text{.}\)

Insinuación.

Considera los conjuntos

\ begin {alinear*} A' & = A\ smallsetmenos (A\ cap B), & B' & = B\ smallsetmenos (A\ cap B), & C & = A'\ sqcup B'. \ end {align*}
Entonces\(A\cup B\) es la unión disjunta de\(C\) y\(A\cap B\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Primes are countable.

El conjunto de números primos es contable, ya que es un subconjunto de\(\mathbb{N}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Unit interval is uncountable.

El intervalo unitario\((0,1)\) en la línea numérica real es incontable porque contiene el subconjunto incontable\(\scr{C}\) de Lemma 13.1.1.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

El conjunto\(\mathbb{R}\) es incontable.

Prueba

Esto se desprende de Lema 13.1.1 y Declaración 4 de la Proposición\(\PageIndex{1}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

El conjunto de productos cartesianos\(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) es incontable porque tiene un subconjunto incontable: el\(x\) eje -tiene el mismo tamaño que\(\mathbb{R}\text{.}\)