17.1: Conceptos básicos
- Page ID
- 118133
una regla que asigna a algunos elementos de un conjunto\(A\) varios elementos de un conjunto\(B\)
elemento\(a \in A\) está relacionado con elemento\(b \in B\) por relación\(R\)
una relación entre elementos del mismo conjunto
Compare esta definición de relación de trabajo con nuestra definición de trabajo de función en la Sección 10.1.
Como su nombre lo indica, una relación describe alguna relación de elementos de un conjunto\(A\) con elementos de un conjunto\(B\text{.}\)
Vamos a\(C\) representar el conjunto de gatos vivos, y dejar\(H\) representar el conjunto de seres humanos vivos. Entonces una relación entre elementos de estos dos conjuntos se puede expresar escribiendo\(c \mathrel{R} h\) para significar que el gato\(c\) es la mascota del ser humano\(h\text{.}\)
Vamos a\(H\) representar el conjunto de seres humanos vivos. Entonces un tipo de relación entre elementos de este conjunto se puede expresar escribiendo\(h_1 \mathrel{R} h_2\) para significar que el ser humano\(h_1\) es el padre del ser humano\(h_2\text{.}\)
Un tipo de relación entre elementos de se\(\mathbb{N}_{<0}\) puede expresar escribiendo\(m \mid n\) para significar que el número natural distinto de cero\(m\) divide el número natural distinto de cero\(n\text{.}\)
Al igual que con las funciones, queremos evitar el uso de la palabra indefinible “regla”. Observe que una relación solo empareja elementos de un conjunto\(A\) con elementos de un conjunto que\(B\text{;}\) hemos visto esto antes.
un subconjunto de un producto cartesiano
Con esta definición formal, la escritura\(R \subseteq A \times B\) se convierte en lo mismo que decir “\(R\)es una relación entre elementos de\(A\) y\(B\text{,}\)” y la escritura\((a,b) \in R\) se convierte en lo mismo que la escritura\(a \mathrel{R} b\text{.}\)
Con esta definición formal, una relación sobre un conjunto\(A\) significa un subconjunto de\(A \times A\text{.}\)
Recordemos que nuestra definición formal de función establece que una función\(A \to B\) es un tipo especial de subconjunto de\(A \times B\text{.}\) Pero cada subconjunto de\(A \times B\) puede considerarse como una relación, por lo que una función es un tipo especial de relación.
La diferencia es que una función\(A \to B\) debe asignar exactamente un elemento de\(B\) a cada elemento de\(A\text{,}\) mientras que una relación de\(A\) a\(B\) puede asignar cualquier número de elementos de\(B\) (incluso cero) a cada elemento de Es\(A\text{.}\) decir, una relación no tiene que ser bien definido, y puede dejarse indefinido en algunos elementos de\(A\text{.}\)
- Ver.
Considerar
\ begin {ecuación*} R =\ {(a, C): a\ in C\}\ subseteq A\ veces\ mathscr {P} (A)\ text {.} \ end {ecuation*}
Entonces\(a \mathrel{R} C\) significa\(a \in C\text{.}\) Esta relación en general no es una función, ya que no está bien definida: un elemento de\(A\) puede estar contenido en varios subconjuntos de\(A\text{.}\)
Una relación entre pares de objetos, como los que hemos considerado hasta ahora, a veces se denomina relación binaria. Pero podemos considerar las relaciones entre colecciones de más de dos objetos.
un subconjunto de\(A \times B \times C\) para conjuntos\(A,B,C\)
Vamos a\(H\) representar el conjunto de todos los seres humanos vivos. Entonces podemos definir una relación ternaria\(R \subseteq H^3\) tomando como significado\((h_1,h_2,h_3) \in R\) que los humanos\(h_1,h_2\) son los padres de los humanos\(h_3\text{.}\)