17.2: Operaciones en Relaciones
- Page ID
- 118147
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Ver las relaciones como subconjuntos de productos cartesianos sugiere formas de construir nuevas relaciones a partir de lo antiguo.
la relación donde\(a \mathrel{(R_1 \cup R_2)} b\) significa que al menos uno de\(a \mathrel{R_1} b\) o\(a \mathrel{R_2} b\) es verdadero
la relación donde\(a \mathrel{(R_1 \cap R_2)} b\) significa que ambos\(a \mathrel{R_1} b\) y\(a \mathrel{R_2} b\) son verdaderos
la relación donde\(a \mathrel{R^C} b\) significa que eso no\(a \mathrel{R} b\) es cierto
notación alternativa para\(a \mathrel{R^C} b\)
Considerando las relaciones como subconjuntos de productos cartesianos, las operaciones de relación anteriores significan precisamente lo mismo que las operaciones de conjunto correspondientes.
Considerar las relaciones\(\mathord{\lt}\) y\(\mathord{=}\) seguir\(\mathbb{R}\text{,}\) y dejar que\(R\) sea la unión\(\mathord{\lt} \cup \mathord{=}\text{.}\) Entonces\(x \mathrel{R} y\) significa que al menos uno de\(x \lt y\) o\(x = y\) es cierto. Es decir,\(R\) es lo mismo que la relación\(\mathord{\le}\text{.}\)
Vamos a\(H\) representar el conjunto de todos los seres humanos vivos. Dejar que las relaciones\(R_F, R_M \subseteq H \times H\) sean definidas por
- \(a \mathrel{R_F} b\)si\(a,b\) tienen el mismo padre; y
- \(a \mathrel{R_M} b\)si\(a,b\) tienen la misma madre.
Establecer\(R_P = R_F \cap R_M\text{.}\) Entonces\(a \mathrel{R_P} b\) significa que\(a,b\) tienen los mismos padres.
Dejar\(U\) ser un conjunto universal y considerar la relación\(\mathord{\subseteq}\) en\(\mathscr{P}(U) \text{.}\) Entonces\(A \mathrel{\subseteq^C} B\) significa que no\(A\) es un subconjunto de los\(B\text{,}\) cuales sólo puede suceder si algunos elementos de no\(A\) están en\(B\text{.}\) En otras palabras,\(A \mathrel{\subseteq^C} B\) significa que\(A \cap B^C \ne \varnothing \text{.}\)
- Cuidado.
-
Relación\(A \mathrel{\subseteq^C} B\) no significa (necesariamente)\(A \subseteq B^C \text{.}\) Dibuja un diagrama de Venn representativo para ver por qué.
A diferencia de las funciones, que solo se pueden revertir si son biyectivas, cada relación se puede revertir simplemente declarando la relación en el orden inverso.
la relación donde\(b \mathrel{R^{-1}} a\) significa que\(a \mathrel{R} b\) es verdad
- Como subconjuntos de productos cartesianos, si\(R \subseteq A \times B\text{,}\) entonces\(R^{-1} \subseteq B \times A\text{,}\) y\((a,b) \in R\) si y solo si\((b,a) \in R^{-1}\text{.}\)
- Una relación\(R\) y su inversa\(R^{-1}\) expresan la misma relación entre elementos de dos conjuntos\(A\) y\(B\text{,}\) simplemente enunciados en el orden opuesto. En términos lógicos,\({b \mathrel{R^{-1}} a} \Rightarrow {a \mathrel{R} b}\text{.}\)
Vamos a\(H\) representar el conjunto de todos los seres humanos vivos, y dejar\(R\) representar la relación sobre\(H\) dónde\(h_1 \mathrel{R} h_2\) significa humano\(h_1\) es el padre del ser humano\(h_2\text{.}\) Entonces\(h_2 \mathrel{R^{-1}} h_1\) significa humano\(h_2\) es hijo de lo humano\(h_1\text{.}\) Ambas relaciones expresan la misma información, pero en un orden diferente.
Recordemos que\(\mid\) es una relación sobre\(\mathbb{N}_{>0}\) dónde\(m \mid n\) significa que\(m\) divide\(n\text{.}\) Entonces para la relación inversa,\(n \mid^{-1} m\) significa\(n\) es un múltiplo de\(m\text{.}\) Ambas relaciones expresan la misma información, pero en un orden diferente.
Vamos a\(\scr{L}\) representar el conjunto de todas las declaraciones lógicas posibles. Tenemos una relación\(\equiv\) sobre\(\scr{L}\text{,}\) donde\(A \equiv B\) significa que la declaración lógica\(A\) implica las mismas variables de declaración y tiene la misma tabla de verdad\(B\text{.}\) que declaración lógica Desde\(A \equiv B\) si y sólo si\(B \equiv A\text{,}\) concluimos que la relación de equivalencia lógica en\(\scr{L}\) es su propio inverso.
Hay dos ideas más set-teóricas que podemos reinterpretar como relaciones.
la relación entre conjuntos\(A\) y\(B\) correspondiente al subconjunto vacío\(\emptyset \subseteq A \times B\text{,}\) para que siempre\(a \mathrel{\emptyset} b\) sea falsa
la relación entre conjuntos\(A\) y\(B\) correspondiente al subconjunto completo\(U = {A \times B} \subseteq {A \times B}\text{,}\) para que siempre\(a \mathrel{U} b\) sea cierto.