17.2: Operaciones en Relaciones
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Ver las relaciones como subconjuntos de productos cartesianos sugiere formas de construir nuevas relaciones a partir de lo antiguo.
la relación donde\(a \mathrel{(R_1 \cup R_2)} b\) significa que al menos uno de\(a \mathrel{R_1} b\) o\(a \mathrel{R_2} b\) es verdadero
la relación donde\(a \mathrel{(R_1 \cap R_2)} b\) significa que ambos\(a \mathrel{R_1} b\) y\(a \mathrel{R_2} b\) son verdaderos
la relación donde\(a \mathrel{R^C} b\) significa que eso no\(a \mathrel{R} b\) es cierto
notación alternativa para\(a \mathrel{R^C} b\)
Considerando las relaciones como subconjuntos de productos cartesianos, las operaciones de relación anteriores significan precisamente lo mismo que las operaciones de conjunto correspondientes.
Considerar las relaciones\(\mathord{\lt}\) y\(\mathord{=}\) seguir\(\mathbb{R}\text{,}\) y dejar que\(R\) sea la unión\(\mathord{\lt} \cup \mathord{=}\text{.}\) Entonces\(x \mathrel{R} y\) significa que al menos uno de\(x \lt y\) o\(x = y\) es cierto. Es decir,\(R\) es lo mismo que la relación\(\mathord{\le}\text{.}\)
Vamos a\(H\) representar el conjunto de todos los seres humanos vivos. Dejar que las relaciones\(R_F, R_M \subseteq H \times H\) sean definidas por
- \(a \mathrel{R_F} b\)si\(a,b\) tienen el mismo padre; y
- \(a \mathrel{R_M} b\)si\(a,b\) tienen la misma madre.
Establecer\(R_P = R_F \cap R_M\text{.}\) Entonces\(a \mathrel{R_P} b\) significa que\(a,b\) tienen los mismos padres.
Dejar\(U\) ser un conjunto universal y considerar la relación\(\mathord{\subseteq}\) en\(\mathscr{P}(U) \text{.}\) Entonces\(A \mathrel{\subseteq^C} B\) significa que no\(A\) es un subconjunto de los\(B\text{,}\) cuales sólo puede suceder si algunos elementos de no\(A\) están en\(B\text{.}\) En otras palabras,\(A \mathrel{\subseteq^C} B\) significa que\(A \cap B^C \ne \varnothing \text{.}\)
- Cuidado.
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Relación\(A \mathrel{\subseteq^C} B\) no significa (necesariamente)\(A \subseteq B^C \text{.}\) Dibuja un diagrama de Venn representativo para ver por qué.
A diferencia de las funciones, que solo se pueden revertir si son biyectivas, cada relación se puede revertir simplemente declarando la relación en el orden inverso.
la relación donde\(b \mathrel{R^{-1}} a\) significa que\(a \mathrel{R} b\) es verdad
- Como subconjuntos de productos cartesianos, si\(R \subseteq A \times B\text{,}\) entonces\(R^{-1} \subseteq B \times A\text{,}\) y\((a,b) \in R\) si y solo si\((b,a) \in R^{-1}\text{.}\)
- Una relación\(R\) y su inversa\(R^{-1}\) expresan la misma relación entre elementos de dos conjuntos\(A\) y\(B\text{,}\) simplemente enunciados en el orden opuesto. En términos lógicos,\({b \mathrel{R^{-1}} a} \Rightarrow {a \mathrel{R} b}\text{.}\)
Vamos a\(H\) representar el conjunto de todos los seres humanos vivos, y dejar\(R\) representar la relación sobre\(H\) dónde\(h_1 \mathrel{R} h_2\) significa humano\(h_1\) es el padre del ser humano\(h_2\text{.}\) Entonces\(h_2 \mathrel{R^{-1}} h_1\) significa humano\(h_2\) es hijo de lo humano\(h_1\text{.}\) Ambas relaciones expresan la misma información, pero en un orden diferente.
Recordemos que\(\mid\) es una relación sobre\(\mathbb{N}_{>0}\) dónde\(m \mid n\) significa que\(m\) divide\(n\text{.}\) Entonces para la relación inversa,\(n \mid^{-1} m\) significa\(n\) es un múltiplo de\(m\text{.}\) Ambas relaciones expresan la misma información, pero en un orden diferente.
Vamos a\(\scr{L}\) representar el conjunto de todas las declaraciones lógicas posibles. Tenemos una relación\(\equiv\) sobre\(\scr{L}\text{,}\) donde\(A \equiv B\) significa que la declaración lógica\(A\) implica las mismas variables de declaración y tiene la misma tabla de verdad\(B\text{.}\) que declaración lógica Desde\(A \equiv B\) si y sólo si\(B \equiv A\text{,}\) concluimos que la relación de equivalencia lógica en\(\scr{L}\) es su propio inverso.
Hay dos ideas más set-teóricas que podemos reinterpretar como relaciones.
la relación entre conjuntos\(A\) y\(B\) correspondiente al subconjunto vacío\(\emptyset \subseteq A \times B\text{,}\) para que siempre\(a \mathrel{\emptyset} b\) sea falsa
la relación entre conjuntos\(A\) y\(B\) correspondiente al subconjunto completo\(U = {A \times B} \subseteq {A \times B}\text{,}\) para que siempre\(a \mathrel{U} b\) sea cierto.