17.5: Actividades

Actividad\(\PageIndex{1}\)

En cada una de las siguientes, describa la combinación solicitada de relaciones en palabras (es decir, en la forma “a se relaciona con b si...”). Intenta “simplificar” tu descripción, si es posible.

En la Tarea h y Tarea i, el símbolo\(\equiv_k\) representa una relación sobre\(\mathbb{Z}\text{,}\) donde\(m \equiv_k n\) significa eso\(m\) y\(n\) tener el mismo resto cuando se divide por\(k\text{.}\) (Puede ayudar saber que esto equivale a\(k\) dividir la diferencia\(m - n\text{.}\))

1. \(< \cup >\)en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
2. Unión de “más largo que” y “más corto que” encendido\(\Sigma^\ast\) para algún alfabeto\(\Sigma\text{.}\)
3. Unión de “más largo que”, “más corto que” y “la misma longitud que” encendido\(\Sigma^\ast\) para algún alfabeto\(\Sigma\text{.}\)
4. Intersección de “más largo que” y “más corto que” encendido\(\Sigma^\ast\) para algún alfabeto\(\Sigma\text{.}\)
5. El complemento de\(\le\) on\(\mathbb{Z}\text{.}\)
6. La inversa de\(\le\) on\(\mathbb{Z}\text{.}\)
7. La inversa de “\(x R y\)si\(2 x + 3 y = 0\)” en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
8. La intersección de\(\equiv_5\) y\(\equiv_7\) en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
9. La intersección de\(\equiv_2\) y\(\equiv_4\) en\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{2}\)

En cada una de las siguientes, se le da un conjunto\(A\) y una relación\(R\) sobre\(A\text{.}\) Determinar cuál de las propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva\(R\) posee.

1. \(A = \mathbb{Z}\text{,}\)\(R\)es\(<\text{.}\)
2. \(A\)es el conjunto de todas las líneas rectas en el plano,\(R\) significa “es paralelo a”.
3. \(A\)es el conjunto de todas las líneas rectas en el plano,\(R\) significa “es perpendicular a”.
4. \(A = \Sigma^\ast\)para algunos alfabeto\(\Sigma\text{,}\)\(R\) significa “es la misma longitud que.”
5. \(A = \Sigma^\ast\)para algunos alfabeto\(\Sigma\text{,}\)\(R\) significa “es más corto que.”
6. \(A = \Sigma^\ast\)para algún alfabeto\(\Sigma\text{,}\)\(x\) es alguna opción fija de letra en\(\Sigma\text{,}\)\(R\) medias “contiene el mismo número de ocurrencias de\(x\) como.”
7. \(A\)es un conjunto arbitrario,\(R\) es la relación vacía.
8. \(A\)es un conjunto arbitrario,\(R\) es la relación universal.

Actividad\(\PageIndex{3}\)

1. Supongamos que\(R\) es una relación en un set\(A\text{.}\) Convénzate que\(R \cup R^{-1}\) es simétrico. (Consulte la Prueba de Relación Simétrica.)
2. Recordemos que\(\vert\) representa la relación “divide” en conjuntos de enteros. Dibuja la gráfica dirigida para\(\vert\) en el conjunto\(A = \{2,4,6,8,10,12,14,16\}\text{.}\) Luego describa cómo obtener la gráfica para la relación simétrica\(\vert \cup \vert ^{-1}\) como una gráfica no dirigida a partir de la gráfica de\(R\) usar solo una goma de borrar.

Actividad\(\PageIndex{4}\)

Para cada una de las propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva, llevar a cabo lo siguiente.

Supongamos que\(R\) y\(S\) son relaciones no vacías en un conjunto\(A\) que ambos tienen la propiedad. Para cada uno de\(R^C\text{,}\)\(R \cup S\text{,}\)\(R \cap S\text{,}\) y\(R^{-1}\text{,}\) determinar si la nueva relación

1. también debe tener esa propiedad;
2. podría tener esa propiedad, pero tal vez no; o
3. no puede tener esa propiedad.

Cada vez que conteste el estado de cuenta i o el estado iii, esboce una prueba. Cada vez que responda Declaración ii, proporcione dos ejemplos: uno donde la nueva relación tiene la propiedad, y otro donde la nueva relación no. (Puede usar gráficas para describir sus ejemplos).