17.6: Ejercicios
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Gráfica dirigida para una relación.
En cada uno de los Ejercicios 1—4, se le da una relación en un conjunto específico. Dibuja una gráfica dirigida que represente la relación.
Relación\(\subsetneqq\) sobre\(\mathscr{P}(\{a,b,c\})\text{.}\)
Relación\(\lt\) sobre\(\{1,2,3,4\}\text{.}\)
Relación\(\equiv_3\) sobre\(\mathbb{N}_{<13}\text{.}\)
Relación “tiene el mismo número de ocurrencias de la letra\(\mathrm{a}\) que” on\(\Sigma^\ast_4\) para alfabeto\(\Sigma = \{a, z\}\text{.}\)
Recordemos que una relación en un conjunto\(A\) es solo un subconjunto del producto cartesiano\(A \times A\text{.}\) Escribe todas las relaciones en el set\(A = \{a,b\}\) como subconjuntos de ¿\(A \times A\text{.}\)Cuáles de estas relaciones son reflexivas? ¿Simétrico? ¿Antisimétrico? Transitivo?
Prueba de reflexividad/simetría/antisimetría/transitividad.
En cada uno de los Ejercicios 6—17, se le da una relación en un conjunto específico. Determinar cuál de las propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva posee la relación dada.
Relación\(\lt\) sobre\(\mathbb{R}\text{.}\)
Relación\(\mathord{\ge}\) sobre\(\mathbb{R}\text{.}\)
Relación\(\mathord{\vert}\) sobre\(\mathbb{Z}\text{.}\)
Relación\(\mathord{\subseteq}\) sobre\(\mathscr{P}{X}\text{,}\) dónde\(X\) es un conjunto arbitrario, no especificado.
La relación “es más alta que” en el set de todos los humanos vivos.
Relación “es paralela a” en el conjunto de todas las líneas rectas en el plano.
Relación “es perpendicular a” en el conjunto de todas las líneas rectas en el plano.
Relación “tiene la misma longitud que” en\(\Sigma^\ast\text{,}\) donde\(\Sigma\) es un conjunto de alfabeto arbitrario, no especificado.
La relación “es más corta que” en\(\Sigma^\ast\text{,}\) donde\(\Sigma\) hay un conjunto de alfabeto arbitrario y no especificado.
Relación “contiene el mismo número de ocurrencias de la letra\(x\) que” en\(\Sigma^\ast\text{,}\) donde\(\Sigma\) es un conjunto de alfabeto arbitrario y no especificado y\(x\) es alguna opción fija de letra en\(\Sigma\text{.}\)
Relación\(\Leftrightarrow\) en el conjunto de todas las sentencias lógicas que involucran las variables de sentencia\(p_1,p_2,p_3,\ldots\text{.}\)
Relación\(R\) definida por “\(a_1 \mathrel{R} a_2\)if\(f(a_1) = f(a_2)\)” en un conjunto\(A\text{,}\) donde\(f: A \rightarrow B\) es una función arbitraria, no especificada.
Propiedades de las relaciones reflejadas en sus gráficas.
En cada uno de los Ejercicios 18—19, se le da una lista de propiedades. Dibuja la gráfica dirigida de una relación en el conjunto\(\{a,b,c,d\}\) que posea las propiedades dadas.
Simétrica y transitiva, pero ni reflexiva ni antisimétrica.
Reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero no simétrica.
Demostrar que una relación es simétrica si y sólo si es equivalente a su propia relación inversa.
Como se describe en la Sección 17.3, la definición de relación antisimétrica puede formularse en lenguaje simbólico como
\ begin {ecuation*} (\ forall a_1\ in A) (\ forall a_2\ in A) (a_1\ neq a_2\ Rightarrow a_1\ no R\ a_2\ lor a_2\ no R\ a_1)\ text {.} \ end {equation*}
Demostrar que cada uno de los dos condicionales proporcionados en la Prueba de Relación Antisimétrica son equivalentes a la formulación simbólica de la definición de antisimétrico dada anteriormente.
Supongamos que\(R\) es una relación sobre un conjunto\(A\) que es a la vez simétrica y antisimétrica. Demostrar que\(R\) es un subconjunto de la relación de identidad\(\{(x,x)\vert x \in A\}\text{.}\)