18.6: Actividades

Actividad\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las relaciones proporcionadas, realice los siguientes pasos.

1. Verificar que la relación sea una relación de equivalencia en el conjunto\(A\text{.}\)
2. Considere algunas clases de equivalencia de ejemplo, para el ejemplo específico de elementos representativos proporcionados (si corresponde). ¿Qué otros elementos hay en esa clase?
3. Idear una manera general de describir cada clase de equivalencia, utilizando su experiencia de las clases de ejemplo ya consideradas (si corresponde). Haga que las descripciones de sus clases sean más significativas que solo “todos los elementos equivalentes a un elemento representativo específico”.
4. Listar/describir todos los elementos en el cociente\(A/\equiv\text{.}\)

 

1. Relación\(\mathord{\equiv}\) sobre\(A = \mathbb{Z}\text{,}\) donde\(m \equiv n\) significa\(m^2 = n^2\text{.}\) Ejemplo de clases de equivalencia para\(1, 10, -2, 0\text{.}\)
2. Relación\(\mathord{\equiv}\) sobre\(A = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\text{,}\) donde\((x_1,y_1) \equiv (x_2,y_2)\) significa\(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Ejemplo de clases de equivalencia para\((1,1), (3,4), (\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2), (0,0)\text{.}\)
3. Relación\(\mathord{\equiv}\) sobre\(A = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\text{,}\) donde\((x_1,y_1) \equiv (x_2,y_2)\) significa\(y_1^2 - x_1 = y_2^2 - x_2\text{.}\) Ejemplo de clases de equivalencia para\((0,0), (0,1), (1,-1)\text{.}\)
4. Relación\(\mathord{\equiv}\) sobre\(A = \mathscr{P} (\{a,b,c,d\})\text{,}\) donde\(X \equiv Y\) significa\(\vert X^C \vert = \vert Y^C \vert\text{.}\) Ejemplo de clases de equivalencia para\(\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}, \{a,b,c,d\}\text{.}\)
5. Relación\(\mathord{\equiv}\) en el conjunto\(A = V\) de vértices de una gráfica\(G\text{,}\) donde\(v \equiv v'\) significa que existe una ruta en\(G\) de\(v\) a\(v'\text{.}\)
6. Dada\(f: A \rightarrow B\text{,}\) la función la relación\(\mathord{\equiv}\) sobre el dominio\(A\text{,}\) donde\(a_1 \equiv a_2\) significa\(f(a_1) = f(a_2)\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{1}\)

Una secuencia de un conjunto también\(A\) podría llamarse lista ordenada. Por ejemplo, dadas distintas\(a_1,a_2 \in A\text{,}\) las secuencias finitas\(a_1,a_1,a_2\) y\(a_1,a_2,a_1\) son secuencias diferentes, porque el orden importa en una secuencia. Sin embargo, como lista desordenada,\(a_1,a_1,a_2\) es lo mismo que\(a_1,a_2,a_1\text{.}\)

Escriba\(\mathscr{S}_A\) para el conjunto de todas las secuencias finitas de\(A\text{.}\) Devise una relación de equivalencia\(\mathord{\equiv}\) en\(\mathscr{S}_A\) tal que el conjunto de cocientes\(\mathscr{S}_A / \mathord{\equiv}\) represente el conjunto de todas las listas finitas desordenadas de\(A\text{.}\)

Pista.

¿Cuándo se deben considerar equivalentes dos secuencias finitas diferentes como listas desordenadas?

Actividad\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(\mathord{\equiv}\) y\(\mathord{\equiv}'\) son relaciones de equivalencia en un conjunto\(A\text{.}\) Determinar cuáles de las siguientes son también relaciones de equivalencia.

1. \(\mathord{\equiv}^C\)
2. \(\mathord{\equiv} \cup \mathord{\equiv}'\)
3. \(\mathord{\equiv} \cap \mathord{\equiv}' \)

Ver Actividad 17.5.4.