19.3: Gráfica para un pedido parcial

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Definición: Diagrama de Hasse

un diagrama para la gráfica para un orden parcial en un conjunto finito\(A\text{,}\) omitiendo bucles reflexivos y bordes transitivos “compuestos”, y colocando elementos “más pequeños” más abajo en el diagrama en lugar de usar flechas

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Hasse diagram for division of integers.

Deje\(A = \{2,4,6,8,10,12\}\text{.}\) El diagrama de Hasse del orden parcial\(\mathord{\mid}\) (es decir, “divide”) en\(A\) aparece en la Figura\(\PageIndex{1}\). Observe que no\(2\) se une directamente a ninguno\(8\) o\(12\text{,}\) ya que podemos utilizar la transitividad y los hechos que\(2 \mid 4\) y\(2 \mid 6\) para inferir\(2 \mid 8\) y\(2 \mid 12\text{,}\) respectivamente, a partir del diagrama.

Figura\(\PageIndex{1}\): El diagrama de Hasse para el orden parcial “divide” en un conjunto finito de enteros.

OBSERVACIÓN\(\PageIndex{1}\)

Ver Ejemplo 14.4.2 para ver otro ejemplo de una gráfica para la relación “divide”.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Hasse diagram for subset order.

El gráfico del Ejemplo 14.4.1 se ha reproducido en la Figura\(\PageIndex{2}\) como un diagrama de Hasse, y representa el orden parcial\(\mathord{\subseteq}\) en\(\mathscr{P}(\{a,b,c\})\text{.}\)

Figura\(\PageIndex{2}\): El diagrama de Hasse para el orden parcial del subconjunto en el conjunto de potencia de un conjunto finito.