19.7: Actividades

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Actividad\(\PageIndex{1}\)

Let\(F \subseteq \mathbb{N}\) representar el conjunto de todos los divisores de\(30\text{.}\) Let\(A = \{a,b,c\}\text{.}\)

Nota: En la Tarea c compararás tu trabajo de la Tarea a y la Tarea a, ¡así que mantén tu trabajo!

Dibuja el diagrama de Hasse para el orden parcial del subconjunto\(\mathord{\subseteq}\) en\(\mathscr{P}(A)\text{.}\)
Dibuja el diagrama de Hasse para el orden parcial “divide”\(\mathord{\mid}\) en\(F\text{.}\)
Compara tus dos diagramas de Hasse. ¿Puedes idear una función\(f: F \rightarrow \mathscr{P}(A)\) que merecería ser llamada correspondencia conservadora de pedidos entre\(F\) y\(\mathscr{P}(A)\text{?}\)

Actividad\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(\mathord{\preceq}\) es un orden parcial en un conjunto\(A\text{.}\) Verificar que la relación inversa\(\preceq^{-1}\) es también un orden parcial encendido\(A\) verificando que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Vamos a\(A = \{a,b,c,d,e\}\text{.}\) llevar a cabo los siguientes pasos para cada uno de los escenarios a continuación.

Dibuje el diagrama de Hasse para un orden parcial\(A\) con las características solicitadas.
En tu diagrama, identifica todos los elementos máximos/mínimos.
Identificar todos los pares de elementos incomparables.

\(A\)tiene tanto un máximo como un mínimo.
\(A\)tiene un máximo pero no mínimo.
\(A\)tiene un mínimo pero no máximo.
\(A\)no tiene ni un máximo ni un mínimo.

Actividad\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(\mathord{\preceq}\) es un orden parcial en el conjunto\(A = \{0,1,2\}\) tal que\(1\) es un elemento máximo. ¿Cuáles son las posibilidades para el diagrama de Hasse de\(\mathord{\preceq}\text{?}\)

Actividad\(\PageIndex{5}\)

Utilizando la estrategia adecuada para probar la singularidad (ver Procedimiento 6.10.1), probar que si un conjunto parcialmente ordenado\(A\) tiene un elemento máximo, entonces ese elemento es el elemento máximo único.

¿Cómo se puede modificar su prueba para demostrar que un elemento mínimo también es único?

Actividad\(\PageIndex{6}\)

Recordemos que\((a,b)\subseteq \mathbb{R}\) significa un intervalo abierto en la línea numérica real:

\ begin {ecuación*} (a, b) =\ {x\ in\ mathbb {R}\ vert a\ lt x\ lt b\}\ texto {.} \ end {equation*}
Dejar\(\mathord{\le}\) ser el orden total habitual “menor que o igual a” en el conjunto

\ begin {ecuación*} A = (-2,0)\ copa (0,2)\ texto {.} \ end {equation*}
Considerar el subconjunto

\ begin {ecuación*} B =\ {-\ dfrac {1} {n}\ vert n\ in\ mathbb {N},\, n\ ge 1\}\ subseteq A\ texto {.} \ end {ecuation*}
Determinar un límite superior para\(B\) in\(A\text{.}\) Luego probar formalmente que no\(B\) tiene menos límite superior en\(A\) argumentando que cada elemento de\(A\) falla los criterios en la definición de límite mínimo superior.