22.5: Actividades
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- ¿Un comité de tres alumnos?
- ¿Un comité integrado por tres estudiantes de primer año y cuatro estudiantes de último año?
- ¿Un comité de seis estudiantes si dos de los estudiantes de último año se niegan a estar juntos en el comité?
- ¿Un comité integrado por cuatro estudiantes de primer año y tres estudiantes de último año si dos de los estudiantes de primer año se niegan a estar juntos en el equipo?
Del alfabeto\(\Sigma = \{0,1\}\text{:}\)
- ¿Cuántas palabras de longitud\(10\) contienen exactamente seis\(0\) s?
- ¿Cuántos contienen al menos tres\(1\) s?
Del alfabeto\(\Sigma = \{0,1,2\}\text{:}\)
- ¿Cuántas palabras de longitud\(10\) contienen exactamente cuatro\(2\) s?
- ¿Cuántos contienen como máximo siete\(0\) s?
La figura\(\PageIndex{1}\) contiene un diagrama en forma de pirámide. Los círculos sin rellenar representan “posiciones” en la pirámide, y los puntos más pequeños representan “divisores” entre posiciones. Considera “caminos” a través de esta pirámide que comienzan en la posición de pico y terminan en el nivel más bajo. Los círculos rellenos unidos por segmentos de línea representan uno de esos caminos.
- ¿Cuántos caminos de este tipo hay?
- ¿Cuántos caminos hay que cambian de dirección exactamente una vez? Exactamente dos veces? ¿A cada paso?
(Para cada caso descrito en esta tarea, debería poder llegar a una respuesta sin determinar explícitamente todas esas rutas).
Llegas al examen final de uno de tus cursos y te enfrentas a doce preguntas. De cuantas formas puedes cumplir con el examen de requisitos si las instrucciones te piden:
- ¿Contesta alguna diez de las preguntas?
- ¿Contesta siete de las ocho primeras preguntas y tres cualesquiera de las últimas cuatro preguntas?
- Contestar diez de las preguntas, ¿al menos cinco de las cuales deben ser de las ocho primeras preguntas y al menos tres de las cuales deben ser de las últimas cuatro preguntas?
Un instructor de curso para una clase de veinte se siente particularmente perezoso y no se molesta en marcar los exámenes finales. En cambio, decide que por cada una de las calificaciones de letras A, B, C, asignará esa calificación aleatoriamente a exactamente seis estudiantes, y a los dos últimos estudiantes desafortunados se les asignará una calificación de D. ¿Cuántos resultados diferentes del curso hay?
¿Cuántas formas hay de dividir a\(m n \) las personas en\(m\) grupos de igual tamaño?
Supongamos que tienes\(2 n\) ositos de peluche que son idénticos a excepción de un número cosido en la pata del pie derecho. De estos osos,\(n\) tienen el número\(0\) en su pie, y los\(n\) osos restantes tienen un número único de\(1, 2, 3, \ldots, n\text{.}\) ¿Cuántas formas puedes elegir\(n\) de los osos, entendiendo que alguno de los\(0\) osos etiquetados es intercambiable?
- Insinuación.
-
Dividir en cajas en función de cuántos osos etiquetados\(0\) habrá en tu colección.
Considera el conjunto\(\{ 1, 2, 3, \ldots, 2n \}\text{.}\) ¿Cuántos subconjuntos de tamaño\(2\) hay tal que los dos elementos en el mismo tengan una suma par?
Considera el conjunto\(\{ 1, 2, 3, \ldots, n \}\text{.}\) ¿Cuántos subconjuntos de tamaño\(3\) hay tal que no sean consecutivos dos de los tres elementos en el mismo?
- Insinuación.
-
Podría ser más fácil contar los subconjuntos de tamaño\(3\) que contienen (al menos) dos números consecutivos.