23.2: Coeficientes Multinomiales

Teorema\(\PageIndex{1}\): Trinomial Theorem.

La expansión del trinomio\((x + y + z)^n\) es la suma de todos los productos posibles

\ comenzar {ecuación*}\ dfrac {n!} {¡yo! \, j! \, k!} \, x^i y^j z^k,\ end {ecuación*}
donde\(0 \le i,j,k \le n\) tal que\(i + j + k = n\text{.}\)

Idea de Prueba.

De manera similar a la prueba del Teorema Binomial, escribir

\ begin {collect} (x + y + z) ^n = (x + y + z) (x + y + z)\ cdots (x + y + z)\ text {,}\ label {ecuation-multinomial-trinomio}\ tag {\(\star\)}\ end {reúnen}
con\(n\) factores. Para ampliar esto, generalizamos el método FOIL: de cada factor, elige uno\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) o\(z\text{,}\) luego multiplica todas tus elecciones juntas. Para cualquier producto de este tipo, las potencias encendidas\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) deben sumar\(n\text{.}\) a Para obtener la expansión final, sumar los resultados de todos los posibles productos de este tipo.

Pero podemos recopilar términos que tengan el mismo exponente en cada uno de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y de\(z\text{.}\) cuántas formas podemos formar un término específico\(x^i y^j z^k\text{,}\) para\(0 \le i,j,k \le n\) tal que\(i + j + k = n\text{?}\) Tenemos\(C^n_i\) formas de elegir\(i\) factores del lado derecho de (\(\star\)) de los cuales tomar \(x\text{,}\)entonces\(C^{n-i}_j\) formas de elegir\(j\) factores de los que tomar\(y\text{.}\) Pero ahora de todos los factores restantes debemos elegir\(z\text{,}\) y sólo hay\(1\) manera de hacerlo. Entonces el coeficiente encendido\(x^i y^j z^k\) es

\ begin {ecuación*}\ binom {n} {i}\ binom {n-i} {j} =\ izquierda (\ dfrac {n!} {¡yo! (n-i)!} \ derecha)\:\:\ izquierda (\ dfrac {(n-i)!} {j! (n-i-j)!} \ derecha) =\ dfrac {n!} {¡yo! \, j! \, k!} \ texto {.} \ end {ecuación*}

Idea de prueba alternativa.

Usa el Teorema Binomial encendido\((x + (y + z))^n\text{,}\) y luego de nuevo en\((y + z)^k\) para cada término\(C^n_k x^{n - k} (y + z)^k\text{.}\) (¡Esto sería muy tedioso!)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Expanding a trinomial.

Determinar los términos en la expansión de\((2 x + y - 3 z)^3\text{.}\)

Solución

Primero, reescribir

\ begin {ecuación*} (2 x + y - 3 z) ^3 = ((2 x) + y + (-3 z)) ^3\ texto {.} \ end {equation*}
Así que los términos en la expansión involucran productos

\ begin {ecuación*} (2 x) ^i y^j (-3 z) ^k\ texto {.} \ end {equation*}
Tenemos que dar cuenta de todas las triples de exponentes\(i, j, k\) que suman a\(3\text{.}\)

\(i\)	\(j\)	\(k\)	\(n! \over i! \, j! \, k! \)	término	simplificado
\(3\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\((2 x)^3 \)	\(8 x^3 \)
\(0\)	\(3\)	\(0\)	\(1\)	\(y^3 \)	\(y^3 \)
\(0\)	\(0\)	\(3\)	\(1\)	\((-3 x)^3 \)	\(-27 z^3 \)
\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)	\(3 (2 x)^2 y \)	\(12 x^2y \)
\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(3\)	\(3 (2 x)^2 (-3 z) \)	\(-36 x^2 z \)
\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(3\)	\(3 (2 x) y^2 \)	\(6 x y^2 \)
\(0\)	\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(3 y^2 (-3 z) \)	\(-9 y^2 z \)
\(1\)	\(0\)	\(2\)	\(3\)	\(3 (2 x) (-3 z)^2 \)	\(-54 x z^2 \)
\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(3 y (-3 z)^2 \)	\(-9 y z^2 \)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(3!\)	\(6 (2 x) y (-3 z) \)	\(-36 x y z \)

Recolectando esto juntos, tenemos

\ begin {alinear*} & (2 x + y - 3 z) ^3\\ & = 8 x^3 + y^3 - 27 z^3 + 12 x^2y - 36 x^2 z\\ & + 6 x y^2 - 9 y^2 z - 54 x z^2 - 36 x y z\ texto {.} \ end {alinear*}

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Determining a specific coefficient in a trinomial expansion.

Determinar el coeficiente\(x^5 y^2 z^7\) en la expansión de\((x + y + z)^{14}\text{.}\)

Solución

Aquí no tenemos ninguna contribución extra al coeficiente a partir de constantes dentro del trinomio, por lo que usar\(n=14\text{,}\)\(i = 5\text{,}\)\(j = 2\text{,}\)\(k = 7\text{,}\) el coeficiente es simplemente

\ comenzar {ecuación*}\ dfrac {14!} {5! \, ¡2! \, 7!} =\ dfrac {14\ cdot 13\ cdot 12\ cdot 11\ cdot 10\ cdot 9\ cdot 8} {5\ cdot 4\ cdot 3\ cdot 2\ cdot 2} = 14\ cdot 13\ cdot 11\ cdot 9\ cdot 4 = 72.072\ texto {.} \ end {ecuación*}

Continúa el patrón del Teorema Binomial y del Teorema del Trinomio.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Multinomial Theorem.

La expansión de\((x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n\) es la suma de todos los productos posibles

\ comenzar {ecuación*}\ dfrac {n!} {i_1! \, i_2! \,\ cdots\, i_m!} \, x_1^ {i_1} x_2^ {i_2}\ cdots x_m^ {i_m}\ text {,}\ end {ecuación*}
donde los exponentes\(i_1, i_2, \ldots, i_n\) suman a\(n\text{.}\)

Idea de Prueba.

Utilice el mismo argumento del método FOIL generalizado que en las pruebas del Teorema Binomial y Trinomial, y simplifique el producto de las fórmulas combinadas obtenidas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Determining a specific coefficient in a multinomial expansion.

Determinar el coeficiente\(x^2 y z^6\) en la expansión de\((3 x + 2 y + z^2 + 6)^8\text{.}\)

Solución

Reescritura

\ begin {ecuación*} (3 x + 2 y + z^2 + 6) ^8 = ((3 x) + (2 y) + (z^2) + 6) ^8\ text {,}\ end {ecuación*}
vemos que los cuatro términos en este multinomio son

\ begin {ecuación*} 3 x,\ quad 2 y,\ quad z^2,\ quad 6\ texto {.} \ end {equation*}
Así que lo que realmente queremos saber es el coeficiente total en el término que implica

\ begin {ecuación*} (3 x) ^2 (2 y) ^1 (z^2) ^3 6^2\ text {.} \ end {equation*}
El Teorema Multinomial nos dice que habrá

\ comenzar {ecuación*}\ dfrac {8!} {2! \, ¡1! \, 3! \, 2!} = 1,680\ end {ecuación*}
tales términos en la expansión de la multinomial. Por lo tanto, obtenemos el término

\ begin {ecuación*} (1,680) (3 x) ^2 (2 y) ^1 (z^2) ^3 6^2 = (1,088,640) x^2 y z^6\ end {ecuación*}
con un coeficiente total de\(1,088,640\text{.}\)

Definición: Coeficiente multinomial

un número que aparece como coeficiente en la expansión de\((x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n\)

Definición:\(\binom{n}{i_1,i_2,\ldots,i_m}\)

el coeficiente sobre el término\(x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_m^{i_m}\) en la expansión de\((x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n\text{,}\) donde los exponentes\(i_1, i_2, \ldots, i_m\) deben sumar a\(n\)

Nota

• El Teorema Multinomial nos dice\(\displaystyle \binom{n}{i_1,i_2,\ldots,i_m} = \dfrac{n!}{i_1! \, i_2! \, \cdots \, i_m!} \text{.}\)
• En el caso de una expansión binomial\((x_1 + x_2)^n\text{,}\) el término\(x_1^{i_1} x_2^{i_2}\) debe tener\(i_1 + i_2 = n\text{,}\) o\(i_2 = n - i_1\text{.}\) El Teorema Multinomial nos dice que el coeficiente sobre este término es

\ begin {ecuación*}\ binom {n} {i_1, i_2} =\ dfrac {n!} {i_1! ¡i_2!} =\ dfrac {n!} {i_1! (n - i_1)!} =\ binom {n} {i_1}. \ end {equation*}
Por lo tanto, en el caso\(m=2\text{,}\) el Teorema Multinomial se reduce al Teorema Binomial.