0.E: Introducción y Preliminares (Ejercicios)

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0.2: Declaraciones matemáticas

1

Clasifique cada una de las oraciones siguientes como una declaración atómica, y una declaración molecular, o no una declaración en absoluto. Si el enunciado es molecular, decir de qué tipo es (conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación).

1. La suma de los primeros 100 enteros positivos impares.
2. Todo el mundo necesita a alguien alguna vez.
3. Los Broncos ganarán el Super Bowl o me comeré mi sombrero.
4. Podemos tener donas para la cena, pero sólo si llueve.
5. Cada número natural mayor que 1 es primo o compuesto.
6. Esta frase es falsa.

Responder

1. Esto no es una afirmación; no tiene sentido decir que es verdadera o falsa.
2. Esta es una declaración atómica (hay algunos cuantificadores, pero no conectivos).
3. Esta es una declaración molecular, específicamente una disyunción. Aunque si lo leemos un poco más, lo que realmente está diciendo el orador es que si los Broncos no ganan el súper bowl, entonces se comerá su sombrero, lo que sería un condicional.
4. Esta es una declaración molecular, una condicional.
5. Esta es una declaración atómica. A pesar de que hay un “o” en la declaración, no tendría sentido considerar las dos mitades de la disposición. Esto se debe a que cuantificamos sobre la disyunción. En símbolos, tenemos\(\forall x (x > 1 \imp (P(x) \vee C(x)))\text{.}\) If we drop the quantifier, we are not left with a statement, since there is a free variable.
6. Esto no es una declaración, aunque ciertamente se parece a una. Recuerda que las declaraciones deben ser verdaderas o falsas. Si esta frase fuera cierta, eso la haría falsa. Si fuera falso, eso lo haría verdad. Ejemplos como este son raros y suelen surgir de algún tipo de autorreferencia.

2

Supongamos\(P\) y\(Q\) son las declaraciones:\(P\text{:}\) Jack pasó las matemáticas. \(Q\text{:}\)Jill pasó las matemáticas.

1. Traduce “Jack y Jill pasaron las matemáticas” en símbolos.
2. Traducir “Si Jack pasó las matemáticas, entonces Jill no” en símbolos.
3. Traducir “\(P \vee Q\)” en Inglés.
4. Traducir “\(\neg(P \wedge Q) \imp Q\)” en Inglés.
5. Supongamos que sabes que si Jack pasó las matemáticas, entonces también lo hizo Jill. ¿Qué puedes concluir si sabes que:
   1. ¿Jill pasó las matemáticas?
   2. ¿Jill no pasó las matemáticas?

Responder

1. \(P \wedge Q\text{.}\)
2. \(P \imp \neg Q\text{.}\)
3. Jack pasó matemáticas o Jill pasó matemáticas (o ambas).
4. Si Jack y Jill no pasaron las matemáticas, entonces Jill sí.
   1. Nada más.
   2. Jack tampoco pasó las matemáticas.

3

Geoff Poshingten está en una elegante pizzería, y decide pedir un calzone. Cuando el mesero le pregunta qué le gustaría en él, responde: “Quiero ya sea pepperoni o salchicha. Además, si tengo salchicha, entonces también debo incluir codornices. Ah, y si tengo pepperoni o codorniz entonces también debo tener queso ricotta”.

1. Traducir el orden de Geoff en símbolos lógicos.
2. El mesero sabe que Geoff es un mentiroso o un narrador de la verdad (así que o todo lo que dice es falso, o todo es verdad). ¿Cuál es?
3. ¿Qué, si acaso, puede concluir el mesero sobre los ingredientes en la deseada calzone de Geoff?

4

Considera la declaración “Si Oscar come comida china, entonces bebe leche”.

1. Escribe lo contrario de la declaración.
2. Escribir el contrapositivo de la declaración.
3. ¿Es posible que el contrapositivo sea falso? Si lo fuera, ¿qué te diría eso?
4. Supongamos que la afirmación original es cierta, y que Oscar bebe leche. ¿Puedes concluir algo (sobre que coma comida china)? Explique.
5. Supongamos que la afirmación original es cierta, y que Oscar no bebe leche. ¿Puedes concluir algo (sobre que coma comida china)? Explique.

5

¿Cuáles de las siguientes declaraciones equivalen a la implicación, “si ganas la lotería, entonces serás rico”, y cuáles son equivalentes a lo contrario de la implicación?

1. O ganas la lotería o de lo contrario no eres rico.
2. O no ganas la lotería o de lo contrario eres rico.
3. Ganarás la lotería y serás rico.
4. Serás rico si ganas la lotería.
5. Ganarás la lotería si eres rico.
6. Es necesario que ganes la lotería para ser rico.
7. Es suficiente ganar la lotería para ser rico.
8. Serás rico solo si ganas la lotería.
9. A menos que ganes la lotería, no serás rico.
10. Si eres rico, debes haber ganado la lotería.
11. Si no eres rico, entonces no ganaste la lotería.
12. Ganarás la lotería si y solo si eres rico.

Responder

Las declaraciones equivalen a la...

1. conversar.
2. implicación.
3. tampoco.
4. implicación.
5. conversar.
6. conversar.
7. implicación.
8. conversar.
9. conversar.
10. converse (de hecho, esto es lo contrario).
11. implicación (el enunciado es el contrapositivo de la implicación).
12. tampoco.

6

Considera la implicación, “si limpias tu habitación, entonces puedes ver la televisión”. Reformular la implicación de tantas maneras como sea posible. Entonces haz lo mismo por lo contrario.

Insinuación

Por supuesto que hay muchas respuestas. Ayuda a suponer que la afirmación es verdadera y lo contrario es nota verdadera. Piensa en lo que eso significa en el mundo real y luego empieza a decirlo de diferentes maneras. Algunas ideas: Usar lenguaje “necesario y suficiente”, usar “solo si”, considerar negaciones, usar “o de lo contrario” lenguaje.

7

Traducir en símbolos. Utilízalo\(E(x)\) para “\(x\)es par” y\(O(x)\) para “\(x\)es impar”.

1. Ningún número es par e impar.
2. Uno más que cualquier número par es un número impar.
3. Hay un número primo que es par.
4. Entre dos números cualesquiera hay un tercer número.
5. No hay número entre un número y uno más que ese número.

Responder

1. \(\neg \exists x (E(x) \wedge O(x))\text{.}\)
2. \(\forall x (E(x) \imp O(x+1))\text{.}\)
3. \(\exists x(P(x) \wedge E(x))\) (where \(P(x)\) means “\(x\) is prime”).
4. \(\forall x \forall y \exists z(x \lt z \lt y \vee y \lt z \lt x)\text{.}\)
5. \(\forall x \neg \exists y (x \lt y \lt x+1)\text{.}\)

8

Traducir al inglés:

1. \(\forall x (E(x) \imp E(x +2))\text{.}\)
2. \(\forall x \exists y (\sin(x) = y)\text{.}\)
3. \(\forall y \exists x (\sin(x) = y)\text{.}\)
4. \(\forall x \forall y (x^3 = y^3 \imp x = y)\text{.}\)

Responder

1. Cualquier número par más 2 es un número par.
2. Para cualquier\(x\) there is a \(y\) such that \(\sin(x) = y\text{.}\) In other words, every number \(x\) is in the domain of sine.
3. Para cada\(y\) there is an \(x\) such that \(\sin(x) = y\text{.}\) In other words, every number \(y\) is in the range of sine (which is false).
4. Para cualquier número, si los cubos de dos números son iguales, entonces los números son iguales.

9

Supongamos que\(P(x)\) es algún predicado para el cual la afirmación\(\forall x P(x)\) es verdadera. ¿También\(\exists x P(x)\) es cierto el caso? En otras palabras, ¿la afirmación es\(\forall x P(x) \imp \exists x P(x)\) siempre cierta? ¿Siempre es cierto lo contrario? Explique.

10

Para cada una de las afirmaciones siguientes, dar un dominio de discurso para el que la afirmación es verdadera, y un dominio para el que la afirmación es falsa.

1. \(\forall x \exists y (y^2 = x)\text{.}\)
2. \(\forall x \forall y \exists z (x \lt z \lt y)\text{.}\)
3. \(\exists x \forall y \forall z (y \lt z \imp y \le x \le z)\)Pista: los dominios no necesitan ser infinitos.

Responder

1. Esto dice que todo tiene una raíz cuadrada (cada elemento es el cuadrado de algo). Esto es cierto de los números reales positivos, y también de los números complejos. Sin embargo, es falso de los números naturales, en cuanto a\(x = 2\) there is no natural number \(y\) such that \(y^2 = 2\text{.}\)
2. Esto afirma que entre cada par de números hay algún número estrictamente entre ellos. Esto es cierto de los racionales (y reales) pero falso de los enteros. Si\(x = 1\) and \(y = 2\text{,}\) then there is nothing we can take for \(z\text{.}\)
3. Aquí estamos diciendo que hay algo entre cada par de números. Para casi todos los dominios, esto es falso. De hecho, si el dominio contiene\(\{1,2,3, 4\}\text{,}\) then no matter what we take \(x\) to be, there will be a pair that \(x\) is not between. However, the set \(\{1,2,3\}\) as our domain makes the statement true. Let \(x = 2\text{.}\) Then no matter what \(y\) and \(z\) we pick, if \(y \lt z\text{,}\) then 2 is between them.

0.3: Sets

1

Let\(A = \{1,2,3,4,5\}\text{,}\)\(B = \{3,4,5,6,7\}\text{,}\) y\(C = \{2,3,5\}\text{.}\)

1. Encuentra\(A \cap B\text{.}\)
2. Encuentra\(A \cup B\text{.}\)
3. Encuentra\(A \setminus B\text{.}\)
4. Encuentra\(A \cap \overline{(B \cup C)}\text{.}\)
5. Encuentra\(A \times C\text{.}\)
6. Es\(C \subseteq A\text{?}\) Explicar.
7. Es\(C \subseteq B\text{?}\) Explicar.

Responder

1. \(A \cap B = \{3,4,5\}\text{.}\)
2. \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}\text{.}\)
3. \(A \setminus B = \{1,2\}\text{.}\)
4. \(A \cap \bar{(B \cup C)} = \{1\}\text{.}\)
5. \(A \times C = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (4,2)\text{,}\) \((4,3), (4,5), (5,2), (5,3), (5,5)\}\)
6. Sí. Los tres elementos de\(C\) are also elements of \(A\text{.}\)
7. No. Hay un elemento de\(C\text{,}\) namely the element 2, which is not an element of \(B\text{.}\)

2

Let\(A = \{x \in \N \st 3 \le x \le 13\}\text{,}\)\(B = \{x \in \N \st x \mbox{ is even} \}\text{,}\) y\(C = \{x \in \N \st x \mbox{ is odd} \}\text{.}\)

1. Encuentra\(A \cap B\text{.}\)
2. Encuentra\(A \cup B\text{.}\)
3. Encuentra\(B \cap C\text{.}\)
4. Encuentra\(B \cup C\text{.}\)

3

Encuentra un ejemplo de conjuntos\(A\) y\(B\) tal que\(A\cap B = \{3, 5\}\) y\(A \cup B = \{2, 3, 5, 7, 8\}\text{.}\)

4

Encuentra un ejemplo de conjuntos\(A\) y\(B\) tal que\(A \subseteq B\) y\(A \in B\text{.}\)

Responder

Por ejemplo,\(A = \{1,2,3\}\) and \(B = \{1,2,3,4,5,\{1,2,3\}\}\)

5

Recordar\(\Z = \{\ldots,-2,-1,0, 1,2,\ldots\}\) (los enteros). \(\Z^+ = \{1, 2, 3, \ldots\}\)Dejen ser los enteros positivos. \(2\Z\)Dejen ser los enteros pares,\(3\Z\) sean los múltiplos de 3, y así sucesivamente.

1. Es\(\Z^+ \subseteq 2\Z\text{?}\) Explicar.
2. Es\(2\Z \subseteq \Z^+\text{?}\) Explicar.
3. Buscar\(2\Z \cap 3\Z\text{.}\) Describir el conjunto en palabras, y usando notación de conjunto.
4. Expresar\(\{x \in \Z \st \exists y\in \Z (x = 2y \vee x = 3y)\}\) como unión o intersección de dos conjuntos ya descritos en este problema.

Responder

1. No.
2. No.
3. \(2\Z \cap 3\Z\) is the set of all integers which are multiples of both 2 and 3 (so multiples of 6). Therefore \(2\Z \cap 3\Z = \{x \in \Z \st \exists y\in \Z(x = 6y)\}\text{.}\)
4. \(2\Z \cup 3\Z\text{.}\)

6

Dejar\(A_2\) ser el conjunto de todos los múltiplos de 2 excepto para\(2\text{.}\) Let\(A_3\) ser el conjunto de todos los múltiplos de 3 excepto para 3. Y así sucesivamente, así que ese\(A_n\) es el conjunto de todos los\(n\) múltiplos de excepto\(n\text{,}\) para cualquier\(n \ge 2\text{.}\) Describe (en palabras) el conjunto\(\bar{A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup \cdots}\text{.}\)

7

Dibuja un diagrama de Venn para representar cada uno de los siguientes:

1. \(A \cup \bar B\)
2. \(\bar{(A \cup B)}\)
3. \(A \cap (B \cup C)\)
4. \((A \cap B) \cup C\)
5. \(\bar A \cap B \cap \bar C\)
6. \((A \cup B) \setminus C\)

Responder

1. \(A \cup \bar B\text{:}\)
2. \(\bar{(A \cup B)}\text{:}\)
3. \(A \cap (B \cup C)\text{:}\)
4. \((A \cap B) \cup C\text{:}\)
5. \(\bar A \cap B \cap \bar C\text{:}\)
6. \((A \cup B) \setminus C\text{:}\)

8

Describa un conjunto en términos de\(A\) y\(B\) (usando notación de conjunto) que tiene el siguiente diagrama de Venn:

9

Encuentra las siguientes cardinalidades:

1. \(|A|\)cuando\(A = \{4,5,6,\ldots,37\}\)
2. \(|A|\)cuando\(A = \{x \in \Z \st -2 \le x \le 100\}\)
3. \(|A \cap B|\)cuándo\(A = \{x \in \N \st x \le 20\}\) y\(B = \{x \in \N \st x \mbox{ is prime} \}\)

Responder

1. 34.
2. 103.
3. 8.

10

Let\(A = \{a, b, c, d\}\text{.}\) Find\(\pow(A)\text{.}\)

Insinuación

Estamos buscando un conjunto que contenga 16 juegos.

11

Deje\(A = \{1,2,\ldots, 10\}\text{.}\) ¿Cuántos subconjuntos de\(A\) contienen exactamente un elemento (es decir, cuántos subconjuntos singleton hay)? ¿Cuántos subconjuntos de dobletes (que contienen exactamente dos elementos) hay?

12

Let\(A = \{1,2,3,4,5,6\}\text{.}\) Buscar todos los conjuntos\(B \in \pow(A)\) que tienen la propiedad\(\{2,3,5\} \subseteq B\text{.}\)

13

Encuentra un ejemplo de conjuntos\(A\) y\(B\) tal que\(|A| = 4\text{,}\)\(|B| = 5\text{,}\) y\(|A \cup B| = 9\text{.}\)

Responder

Por ejemplo,\(A = \{1,2,3,4\}\) and \(B = \{5,6,7,8,9\}\) gives \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{.}\)

14

Encuentra un ejemplo de conjuntos\(A\) y\(B\) tal que\(|A| = 3\text{,}\)\(|B| = 4\text{,}\) y\(|A \cup B| = 5\text{.}\)

15

¿Hay conjuntos\(A\) y\(B\) tal que\(|A| = |B|\text{,}\)\(|A\cup B| = 10\text{,}\) y\(|A\cap B| = 5\text{?}\) Explique.

16

En una baraja regular de naipes hay 26 cartas rojas y 12 cartas de cara. Explica, usando sets y lo que has aprendido sobre las cardinalidades, por qué solo hay 32 cartas que son rojas o una carta facial.

0.4: Funciones

1

Escribe todas las funciones\(f: \{1,2,3\} \to \{a,b\}\) (usando notación de dos líneas). ¿Cuántos hay? ¿Cuántos son inyectables? ¿Cuántos son suryectivos? ¿Cuántos son los dos?

Responder

Hay 8 funciones diferentes. En notación de dos líneas estos son:

\ begin {ecuación*} f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & a& a\ end {pmatrix}\ quad f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ b & b & b\ end {pmatrix}\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\ a & a& b\ end {pmatrix}\ quad f =\ begin { pmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & a\ end {pmatrix}\ quad f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ b & a& a\ end {pmatrix}\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*}\ quad f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\ b & b & a\ end {pmatrix}\ f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ b & a& b\ end {pmatrix}\ quad f =\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & b\ end {pmatrix}\ end {ecuación*}

Ninguna de las funciones es inyectiva. Exactamente 6 de las funciones son suryectivas. Ninguna función es ambas (ya que aquí no hay funciones inyectoras).

2

Escriba todas las funciones\(f: \{1,2\} \to \{a,b,c\}\) (en notación de dos líneas). ¿Cuántos hay? ¿Cuántos son inyectables? ¿Cuántos son suryectivos? ¿Cuántos son los dos?

Responder

Hay 9 funciones: puede elegir entre tres salidas para\(f(1)\text{,}\) and for each, you have three choices for the output \(f(2)\text{.}\) Of these functions, 6 are injective, 0 are surjective, and 0 are both:

\ begin {ecuación*} f =\ twoline {1 & 2} {a& a}\ quad f =\ twoline {1 & 2} {b & b}\ quad f =\ twoline {1 & 2} {c & c}\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} f =\ twoline {1 & 2} {a& b}\ quad f =\ twoline {1 & 2} {a& b}\ quad f =\ twoline {1 & 2} {a& b}\ quad f =\ tw& 2} {a & c}\ quad f =\ twoline {1 y 2} {b & c}\ final {ecuación*}\ start {ecuación*} f =\ twoline {1 & 2} {b & a}\ quad f =\ twoline {1 & 2} {c & a}\ quad f =\ twoline {1 & 2} {c & b}\ end {ecuación*}

3

Considere la función\(f:\{1,2,3,4,5\} \to \{1,2,3,4\}\) dada por la siguiente tabla:

\(x\)	1	2	3	4	5
\(f(x)\)	3	2	4	1	2

1. ¿Es\(f\) inyectivo? Explique.
2. ¿Es\(f\) suryectiva? Explique.
3. Escribe la función usando notación de dos líneas.

4

Considera la función\(f:\{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\}\) dada por la gráfica a continuación.

1. ¿Es\(f\) inyectivo? Explique.
2. ¿Es\(f\) suryectiva? Explique.
3. Escribe la función usando notación de dos líneas.

5

Para cada función dada a continuación, determine si la función es o no inyectiva y si la función es o no suryectiva.

1. \(f:\N \to \N\)dado por\(f(n) = n+4\text{.}\)
2. \(f:\Z \to \Z\)dado por\(f(n) = n+4\text{.}\)
3. \(f:\Z \to \Z\)dado por\(f(n) = 5n - 8\text{.}\)
4. \(f:\Z \to \Z\)dado por\(f(n) = \begin{cases}n/2 & \text{ if } n \text{ is even} \\ (n+1)/2 & \text{ if } n \text{ is odd} . \end{cases}\)

Responder

1. \(f\) is injective, but not surjective (since 0, for example, is never an output).
2. \(f\) is injective and surjective. Unlike in the previous question, every integers is an output (of the integer 4 less than it).
3. \(f\) is injective, but not surjective (10 is not 8 less than a multiple of 5, for example).
4. \(f\) is not injective, but is surjective. Every integer is an output (of twice itself, for example) but some integers are outputs of more than one input: \(f(5) = 3 = f(6)\text{.}\)

6

Dejar\(A = \{1,2,3,\ldots,10\}\text{.}\) Considerar la función\(f:\pow(A) \to \N\) dada por Es\(f(B) = |B|\text{.}\) decir,\(f\) toma un subconjunto de\(A\) como entrada y da salida a la cardinalidad de ese conjunto.

1. ¿Es\(f\) inyectivo? Demuestra tu respuesta.
2. ¿Es\(f\) suryectiva? Demuestra tu respuesta.
3. Encuentra\(f\inv(1)\text{.}\)
4. Encuentra\(f\inv(0)\text{.}\)
5. Encuentra\(f\inv(12)\text{.}\)

Responder

1. \(f\) is not injective. To prove this, we must simply find two different elements of the domain which map to the same element of the codomain. Since \(f(\{1\}) = 1\) and \(f(\{2\}) = 1\text{,}\) we see that \(f\) is not injective.
2. \(f\) is not surjective. The largest subset of \(A\) is \(A\) itself, and \(|A| = 10\text{.}\) So no natural number greater than 10 will ever be an output.
3. \(f\inv(1) = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \ldots \{10\}\}\) (the set of all the singleton subsets of \(A\)).
4. \(f\inv(0) = \{\emptyset\}\text{.}\) Note, it would be wrong to write \(f\inv(0) = \emptyset\) - that would claim that there is no input which has 0 as an output.
5. \(f\inv(12) = \emptyset\text{,}\) since there are no subsets of \(A\) with cardinality 12.

7

Dejar\(A = \{n \in \N \st 0 \le n \le 999\}\) ser el conjunto de todos los números con tres o menos dígitos. Definir la función\(f:A \to \N\) por\(f(abc) = a+b+c\text{,}\) dónde\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son los dígitos del número en\(A\text{.}\) Por ejemplo,\(f(253) = 2 + 5 + 3 = 10\text{.}\)

1. Encuentra\(f\inv(3)\text{.}\)
2. Encuentra\(f\inv(28)\text{.}\)
3. Es\(f\) inyectivo. Explique.
4. Es\(f\) suryectiva. Explique.

Responder

1. \(f\inv(3) = \{003, 030, 300, 012, 021, 102, 201, 120, 210, 111\}\)
2. \(f\inv(28) = \emptyset\) (since the largest sum of three digits is \(9+9+9 = 27\))
3. La parte (a) demuestra que\(f\) is not injective. The output 3 is assigned to 10 different inputs.
4. La parte b) demuestra que\(f\) is not surjective. There is an element of the codomain (28) which is not assigned to any inputs.

8

Deja que\(f:X \to Y\) haya alguna función. Supongamos\(3 \in Y\text{.}\) ¿Qué puedes decir sobre\(f\inv(3)\) si sabes,

1. \(f\)¿es inyectivo? Explique.
2. \(f\)¿es suryectiva? Explique.
3. \(f\)es biyectiva? Explique.

Responder

1. \(|f\inv(3)| \le 1\text{.}\) In other words, either \(f\inv(3)\) is the emptyset or is a set containing exactly one element. Injective functions cannot have two elements from the domain both map to 3.
2. \(|f\inv(3)| \ge 1\text{.}\) In other words, \(f\inv(3)\) is a set containing at least one elements, possibly more. Surjective functions must have something map to 3.
3. \(|f\inv(3)| = 1\text{.}\) There is exactly one element from \(X\) which gets mapped to 3, so \(f\inv(3)\) is the set containing that one element.

9

Encuentra un conjunto\(X\) y una función\(f:X \to \N\) para que\(f\inv(0) \cup f\inv(1) = X\text{.}\)

Responder

\(X\) can really be any set, as long as \(f(x) = 0\) or \(f(x) = 1\) for every \(x \in X\text{.}\) For example, \(X = \N\) and \(f(n) = 0\) works.

10

¿Qué se puede deducir de los conjuntos\(X\) y\(Y\) si sabe...

1. hay una función de inyección\(f:X \to Y\text{?}\) Explicar.
2. hay una función suryectiva\(f:X \to Y\text{?}\) Explicar.
3. hay una función bijectitve\(f:X \to Y\text{?}\) Explicar.

11

Supongamos que\(f:X \to Y\) es una función. ¿Cuáles de las siguientes son posibles? Explique.

1. \(f\)es inyectivo pero no suryectivo.
2. \(f\)es suryectiva pero no inyectiva.
3. \(|X| = |Y|\)y\(f\) es inyectivo pero no suryectivo.
4. \(|X| = |Y|\)y\(f\) es suryectiva pero no inyectiva.
5. \(|X| = |Y|\text{,}\)\(X\)y\(Y\) son finitos, y\(f\) son inyectables pero no suryectivos.
6. \(|X| = |Y|\text{,}\)\(X\)y\(Y\) son finitas, y\(f\) son suryectivas pero no inyectoras.

12

Dejar\(f:X \to Y\) y\(g:Y \to Z\) ser funciones. Podemos definir la composición de\(f\) y\(g\) ser la función en la\(g\circ f:X \to Z\) que es la imagen de cada uno\(x \in X\) Es\(g(f(x))\text{.}\) decir, enchufar y\(f\text{,}\) luego\(x\) enchufar el resultado en\(g\) (al igual que la composición en álgebra y cálculo).

1. Si\(f\) y\(g\) son ambos inyectables, ¿deben\(g\circ f\) ser inyectables? Explique.
2. Si\(f\) y ambos\(g\) son suryectivos, ¿debe\(g\circ f\) ser suryectiva? Explique.
3. Supongamos que\(g\circ f\) es inyectivo. Qué, si acaso, puedes decir sobre\(f\) y\(g\text{?}\) explicar.
4. Supongamos que\(g\circ f\) es suryectiva. Qué, si acaso, puedes decir sobre\(f\) y\(g\text{?}\) explicar.

Pista

Trabajar con algunos ejemplos. ¿Qué i f\(f = \twoline{1& 2 & 3}{a & a & b}\) y\(g = \twoline{a& b & c}{5 & 6 & 7}\)?

13

Considere la función\(f:\Z \to \Z\) dada por\(f(n) = \begin{cases}n+1 & \text{ if }n\text{ is even} \\ n-3 & \text{ if }n\text{ is odd} . \end{cases}\)

1. ¿Es\(f\) inyectivo? Demuestra tu respuesta.
2. ¿Es\(f\) suryectiva? Demuestra tu respuesta.

Responder

a:\(f\) is injective.

Prueba

Let\(x\) and \(y\) be elements of the domain \(\Z\text{.}\) Assume \(f(x) = f(y)\text{.}\) If \(x\) and \(y\) are both even, then \(f(x) = x+1\) and \(f(y) = y+1\text{.}\) Since \(f(x) = f(y)\text{,}\) we have \(x + 1 = y + 1\) which implies that \(x = y\text{.}\) Similarly, if \(x\) and \(y\) are both odd, then \(x - 3 = y-3\) so again \(x = y\text{.}\) The only other possibility is that \(x\) is even an \(y\) is odd (or visa-versa). But then \(x + 1\) would be odd and \(y - 3\) would be even, so it cannot be that \(f(x) = f(y)\text{.}\) Therefore if \(f(x) = f(y)\) we then have \(x = y\text{,}\) which proves that \(f\) is injective.

\(\square\)

b:\(f\) is surjective.

Prueba

Let\(y\) be an element of the codomain \(\Z\text{.}\) We will show there is an element \(n\) of the domain (\(\Z\)) such that \(f(n) = y\text{.}\) There are two cases: First, if \(y\) is even, then let \(n = y+3\text{.}\) Since \(y\) is even, \(n\) is odd, so \(f(n) = n-3 = y+3-3 = y\) as desired. Second, if \(y\) is odd, then let \(n = y-1\text{.}\) Since \(y\) is odd, \(n\) is even, so \(f(n) = n+1 = y-1+1 = y\) as needed. Therefore \(f\) is surjective.

\(\square\)

14

Al final del semestre una maestra asigna calificaciones de letras a cada uno de sus alumnos. ¿Esto es una función? Si es así, ¿qué conjuntos conforman el dominio y el codominio, y es la función inyectiva, suryectiva, biyectiva, o ninguna?

Responder

Sí, esta es una función, si eliges el dominio y el codominio correctamente. El dominio será el conjunto de alumnos, y el codominio será el conjunto de calificaciones posibles. Es casi seguro que la función no es inyectiva, porque es probable que dos alumnos obtengan la misma calificación. La función podría ser suryectiva —será si hay al menos un alumno que obtiene cada calificación.

15

En el juego de Corazones, a cuatro jugadores se les reparten 13 cartas cada uno de una baraja de 52. ¿Esto es una función? Si es así, ¿qué conjuntos conforman el dominio y el codominio, y es la función inyectiva, suryectiva, biyectiva, o ninguna?

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Supongamos que 7 jugadores están jugando semental de 5 cartas. Cada jugador recibe inicialmente 5 cartas de una baraja de 52. ¿Esto es una función? Si es así, ¿qué conjuntos conforman el dominio y el codominio, y es la función inyectiva, suryectiva, biyectiva, o ninguna?

Responder

Esto no puede ser una función. Si el dominio fuera el conjunto de cartas, entonces no es una función porque no todas las cartas se reparten a un jugador. Si el dominio fuera el conjunto de jugadores, no sería una función porque un solo jugador sería mapeado a múltiples cartas. Como esta no es una función, no tiene sentido decir si es inyectivo/suryectivo/biyectiva.