Prefacio
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Este texto tiene como objetivo dar una introducción a la selección de temas en matemáticas discretas a un nivel apropiado para las carreras de matemáticas de primer o segundo año de pregrado, especialmente aquellos que pretenden enseñar matemáticas de secundaria y preparatoria. El libro comenzó como un conjunto de notas para el curso de Matemáticas Discretas en la Universidad del Norte de Colorado. Este curso sirve tanto como una encuesta de los temas en matemáticas discretas como el curso “puente” para carreras de matemáticas, ya que UNC no ofrece un curso separado de “introducción a las pruebas”. La mayoría de los estudiantes que toman el curso planean enseñar, aunque hay un puñado de estudiantes que irán a la escuela de posgrado o estudiarán matemáticas aplicadas o ciencias de la computación. Para estos estudiantes el texto actual ojalá siga siendo de interés, pero la intención no es proporcionar una base matemática sólida para la informática, a diferencia de la mayoría de los libros de texto sobre el tema.
Otra diferencia entre este texto y la mayoría de los otros libros discretos de matemáticas es que este libro está destinado a ser utilizado en una clase impartida usando métodos orientados a problemas o basados en la investigación. Cuando imparto la clase, asignaré secciones para leer después de presentarlas por primera vez en clase usando una mezcla de trabajo grupal y discusión en clase sobre algunos problemas interesantes. El texto pretende consolidar lo que descubrimos en clase y servir de referencia para los alumnos ya que dominan los conceptos y técnicas que abarca la unidad. Sin embargo, se ha hecho todo lo posible para que el texto sea suficiente para el autoestudio también, de una manera que ojalá imite un aula basada en la indagación.
Los temas tratados en este texto fueron elegidos de acuerdo con las necesidades de los alumnos que imparto en la UNC. Las principales áreas de estudio son combinatoria, secuencias, lógica y pruebas, y teoría gráfica, en ese orden. La inducción se cubre al final del capítulo sobre secuencias. La mayoría de los libros discretos ponen la lógica primero como preliminar, lo que sin duda tiene sus ventajas. Sin embargo, quería discutir juntos la lógica y las pruebas, y descubrí que hacer ambas cosas antes que nada era abrumador para mis alumnos dado que aún no tenían contexto de otros problemas en el tema. Además, después de pasar un par de semanas en pruebas, difícilmente lo usaríamos en absoluto al cubrir combinatorias, por lo que gran parte del progreso que logramos se perdió rápidamente. En cambio, hay una breve sección de introducción sobre declaraciones matemáticas, que debería proporcionar suficiente lenguaje común para discutir el contenido lógico de combinatoria y secuencias.
Dependiendo de la velocidad de la clase, podría ser posible incluir material adicional. En semestres pasados he incluido funciones generadoras (después de secuencias) y alguna teoría básica de números (ya sea después del capítulo de lógica y pruebas o al final del curso). Estos temas adicionales se tratan en el último capítulo.
Si bien (actualmente) creo que esta selección y orden de temas es óptimo, deberías sentirte libre de saltarte a lo que te interese. Ocasionalmente hay ejemplos y ejercicios que se basan en material anterior, pero he tratado de mantenerlos al mínimo y por lo general pueden omitirse o entenderse sin demasiado estudio adicional. Si eres instructor, siéntete libre de editar la fuente XML de LATEX o Mathbook para que se ajuste a tus necesidades.
Ediciones anteriores y futuras
Esta 2da edición actual trae algunas mejoras importantes, así como muchas correcciones menores. Los aspectos más destacados incluyen:
- Parte del material del capítulo 3 (sobre la lógica) forma ahora parte de una sección introductoria sobre declaraciones matemáticas.
- El contenido de la sección sobre funciones de conteo (anteriormente 1.7) ahora está integrado con el resto del capítulo 1.
- Para dar cabida a los instructores, se eliminaron algunas de las soluciones a los ejercicios, y los problemas de “tarea” más involucrados se integraron en los ejercicios principales. Se agregaron nuevos ejercicios y ejemplos. Actualmente hay alrededor de 360 ejercicios de los cuales aproximadamente 2/3 tienen soluciones o respuestas.
- Detrás de escena, la fuente del texto pasó de LATEX a Mathbook XML, lo que permite la conversión a LATEX así como la creación de una versión interactiva en línea.
La anterior edición de otoño de 2015 fue esencialmente la primera edición del libro. Anteriormente había compilado muchas de las secciones en formato de libro para facilitar su distribución, pero esas eran en su mayoría solo notas de conferencias y ejercicios (no había índice ni Investigar problemas; muy poco en la forma de un formato consistente).
Mi intención es compilar una nueva edición antes de cada semestre de otoño que incorpore adiciones y correcciones sugeridas por instructores y estudiantes que utilizan el texto los semestres anteriores. Así te animo a que envíes a lo largo de cualquier sugerencia y comentario tal y como las tengas.
Oscar Levin, Ph.D.
Universidad del Norte de Colorado, 2016