1.S: Conteo (Resumen)

¡Investiga!

Supongamos que tienes una enorme caja de galletas de animales que contienen un montón de cada uno de 10 animales diferentes. Para las preguntas de conteo a continuación, examine cuidadosamente sus similitudes y diferencias, y luego dé una respuesta. Las respuestas son todas una de las siguientes:

\(P(10,6)\qquad\)

\({10 \choose 6}\qquad\)

\(10^6\qquad\)

\({15 \choose 9}.\)

1. ¿Cuántos desfiles de animales que contienen 6 galletas puedes alinear?
2. ¿Cuántos desfiles de animales de 6 galletas puedes alinear para que los animales aparezcan en orden alfabético?
3. ¿De cuántas maneras podrías alinear 6 animales diferentes en orden alfabético?
4. ¿De cuántas maneras podrías alinear 6 animales diferentes si pueden venir en cualquier orden?
5. ¿De cuántas maneras podrías darle a 6 niños una galleta de animales cada uno?
6. ¿De cuántas maneras podrías darle a 6 niños una galleta de animal cada uno para que no dos niños obtengan el mismo animal?
7. ¿De cuántas formas podrías regalar 6 jirafas a 10 niños?
8. Escribe una pregunta sobre darle galletas de animales a niños que tenga la respuesta\({10\choose 6}\text{.}\)

Con todas las diferentes técnicas de conteo que hemos dominado en este último capítulo, puede ser difícil saber cuándo aplicar qué técnica. En efecto, es muy fácil confundirse y usar el método de conteo incorrecto para un problema dado. Se obtiene mejor con la práctica. A medida que practicas comienzas a notar algunas tendencias que pueden ayudarte a distinguir entre tipos de problemas de conteo. Aquí hay algunas sugerencias que pueden resultarle útiles a la hora de decidir cómo abordar un problema de conteo y verificar si su solución es correcta.

• Recuerda que estás contando el número de ítems en alguna lista de resultados. Anota parte de esta lista. Escribe un elemento en la mitad de la lista — ¿cómo estás decidiendo si tu elemento realmente está en la lista? ¿Podrías obtener este elemento más de una vez usando tu respuesta propuesta?
• Si generar un elemento en la lista implica seleccionar algo (por ejemplo, escoger una letra o escoger una posición para poner una letra, etc), ¿se pueden repetir las cosas que seleccione? Recuerda, las permutaciones y combinaciones seleccionan objetos de un conjunto sin repeticiones.
• ¿Importa el orden? Ten cuidado aquí y asegúrate de saber lo que realmente significa tu respuesta. Normalmente decimos que el orden importa cuando obtienes diferentes resultados cuando se seleccionan los mismos objetos en diferentes órdenes. Las combinaciones y “Estrellas y Barras” se utilizan cuando el orden no importa.
• Hay cuatro posibilidades a la hora de ordenar y repetir. Si el orden importa y las repeticiones están permitidas, la respuesta se verá como\(n^k\text{.}\) Si el orden importa y las repeticiones no están permitidas, tenemos\(P(n,k)\text{.}\) Si el orden no importa y las repeticiones están permitidas, usa estrellas y barras. Si el orden no importa y las repeticiones no están permitidas, usa\({n\choose k}\text{.}\) Pero ten cuidado: esto solo se aplica cuando estás seleccionando cosas, y debes asegurarte de saber exactamente lo que estás seleccionando antes de determinar en qué caso te encuentras.
• Piensa en cómo representarías tu problema de conteo en términos de conjuntos o funciones. Sabemos contar diferentes tipos de conjuntos y diferentes tipos de funciones.
• Como vimos con las pruebas combinatorias, a menudo se puede resolver un problema de conteo de más de una manera. Hazlo y compara tus respuestas numéricas. Si no coinciden, algo anda mal.

Si bien hemos cubierto muchas técnicas de conteo, en realidad solo hemos rayado la superficie del gran tema de la combinatoria enumerativa. Hay matemáticos haciendo investigaciones originales en esta área incluso mientras lees esto. Contar puede ser muy difícil.

En el siguiente capítulo, nos acercaremos a contar preguntas desde una dirección muy diferente, y al hacerlo, responderemos infinitamente muchas preguntas de conteo al mismo tiempo. Crearemos secuencias de respuestas a preguntas relacionadas.

Revisión del Capítulo

1

Tienes 9 regalos para regalar a tus 4 hijos. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto si:

1. Los regalos son idénticos, y cada niño recibe al menos un regalo?
2. Los regalos son idénticos, ¿y algunos niños podrían no recibir regalos?
3. Los regalos son únicos, ¿y algunos niños podrían no recibir regalos?
4. Los regalos son únicos y cada niño recibe al menos un regalo?

Contestar

1. \({8 \choose 3}\) ways, after giving one present to each kid, you are left with 5 presents (stars) which need to be divide among the 4 kids (giving 3 bars).
2. \({12 \choose 3}\) ways. You have 9 stars and 3 bars.
3. \(4^9\text{.}\) You have 4 choices for whom to give each present. This is like making a function from the set of presents to the set of kids.
4. \(4^9 - \left[{4 \choose 1}3^9 - {4\choose 2}2^9 + {4 \choose 3}1^9 \right]\) ways. Now the function from the set of presents to the set of kids must be surjective.

2

Para cada uno de los siguientes problemas de conteo, diga si la respuesta es\({10\choose 4}\text{,}\)\(P(10,4)\text{,}\) o ninguno. Si tu respuesta es “ninguno”, di cuál debería ser la respuesta en su lugar.

1. ¿Cuántos caminos de celosía más cortos hay de\((0,0)\) a\((10,4)\text{?}\)
2. Si tienes 10 pajaritas, y quieres seleccionar 4 de ellas para la próxima semana, ¿cuántas opciones tienes?
3. Supongamos que tienes 10 pajaritas y llevarás una en cada uno de los próximos 4 días. ¿Cuántas opciones tienes?
4. Si quieres usar 4 de tus 10 pajaritas la próxima semana (lunes a domingo), ¿de cuántas formas se puede lograr esto?
5. De un grupo de 10 compañeros de clase, ¿de cuántas formas puedes clasificar a tus 4 mejores amigos?
6. Si 10 alumnos llegan a la oficina de su profesor pero solo 4 pueden caber a la vez, ¿cómo diferentes combinaciones de 4 alumnos pueden ver primero al prof?
7. ¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden hacer a partir de las primeras 10 letras del alfabeto?
8. ¿De cuántas maneras puedes hacer la palabra “pastel” a partir de las primeras 10 letras del alfabeto?
9. ¿Cuántas formas hay de distribuir 10 manzanas entre 4 niños?
10. Si tienes 10 niños (y vives en un zapato) y 4 tipos de cereales, ¿de cuántas formas pueden desayunar tus hijos?
11. ¿De cuántas maneras puedes organizar exactamente 4 unos en una cadena de 10 dígitos binarios?
12. Desea seleccionar 4 números de un solo dígito como sus selecciones de lotería. ¿Cuántas opciones tienes?
13. 10 niños quieren helado. Tienes 4 variedades. ¿Cuántas formas hay de darles a los niños tanto helado como quieran?
14. Cuántas funciones 1-1 hay de\(\{1,2,\ldots, 10\}\) a\(\{a,b,c,d\}\text{?}\)
15. ¿Cuántas funciones suryectivas hay desde\(\{1,2,\ldots, 10\}\) hasta\(\{a,b,c,d\}\text{?}\)
16. Cada una de tus 10 pajaritas combina 4 pares de tirantes. ¿Cuántos atuendos puedes hacer?
17. Después de la fiesta, los 10 niños cada uno eligen uno de los 4 favores de fiesta. ¿Cuántos resultados?
18. Cuántos subconjuntos de 6 elementos hay del conjunto\(\{1,2,\ldots, 10\}\)
19. ¿De cuántas formas puedes dividir a 11 niños en 5 equipos?
20. ¿Cuántas soluciones hay para\(x_1 + x_2 + \cdots + x_5 = 6\) donde cada una\(x_i\) es no negativa?
21. Tu banda se va de gira. Hay 10 ciudades a poca distancia en auto, pero solo el tiempo suficiente para jugar 4 de ellas. ¿Cuántas opciones tienes para las ciudades de tu recorrido?
22. ¿De cuántas maneras diferentes puedes jugar las 4 ciudades que elijas?
23. De los 10 cereales para el desayuno disponibles, quieres tener 4 tazones. ¿De cuántas maneras puedes hacer esto?
24. Hay 10 tipos de cookies disponibles. Quieres hacer una pila de 4 galletas. ¿Cuántas pilas diferentes puedes hacer?
25. Desde tu casa en (0,0) quieres ir ya sea a la tienda de donas en (5,4) o a la de (3,6). ¿Cuántos caminos podrías tomar?
26. ¿Cuántos números de 10 dígitos no contienen una subcadena de 4 dígitos repetidos?

Contestar

1. Tampoco. \({14 \choose 4}\) paths.
2. \({10\choose 4}\) bow ties.\(P(10,4)\text{,}\) since order is important.
3. Tampoco. Asumiendo que llevarás cada una de las 4 corbatas en tan solo 4 de los 7 días, sin repeticiones:\({10\choose 4}P(7,4)\text{.}\)
4. \(P(10,4)\text{.}\)\({10\choose 4}\text{.}\)
5. Tampoco. Ya que podrías repetir letras:\(10^4\text{.}\) If no repeats are allowed, it would be \(P(10,4)\text{.}\)
6. Tampoco. En realidad, “k” es la undécima letra del alfabeto, por lo que la respuesta es 0. Si “k” estuviera entre las primeras 10 letras, solo habría 1 vía: escríbalo.
7. Tampoco. O bien\({9\choose 3}\) (if every kid gets an apple) or \({13 \choose 3}\) (if appleless kids are allowed).
8. Tampoco. Tenga en cuenta que esto no podría ser\({10 \choose 4}\) since the 10 things and 4 things are from different groups. \(4^{10}\text{.}\)
9. \({10 \choose 4}\) - don't be fooled by the “arrange” in there - you are picking 4 out of 10 spots to put the 1's.\({10 \choose 4}\) (assuming order is irrelevant).
10. Tampoco. \(16^{10}\) (each kid chooses yes or no to 4 varieties).
11. Tampoco. 0.
12. Tampoco. \(4^{10} - [{4\choose 1}3^{10} - {4\choose 2}2^{10} + {4 \choose 3}1^{10}]\text{.}\)
13. Tampoco. \(10\cdot 4\text{.}\)
14. Tampoco. \(4^{10}\text{.}\)
15. \({10 \choose 4}\) (which is the same as \({10 \choose 6}\)).
16. Tampoco. Si todos los niños fueran idénticos, y no quisieras equipos vacíos, sería\({10 \choose 4}\text{.}\) Instead, this will be the same as the number of surjective functions from a set of size 11 to a set of size 5.
17. \({10 \choose 4}\text{.}\)\({10 \choose 4}\text{.}\)
18. Tampoco. \(4!\text{.}\)
19. Tampoco. Es\({10 \choose 4}\) if you won't repeat any choices. If repetition is allowed, then this becomes \(x_1 + x_2 + \cdots +x_{10} = 4\text{,}\) which has \({13 \choose 9}\) solutions in non-negative integers.
20. Tampoco. Dado que se permite la repetición del tipo de cookie, la respuesta es\(10^4\text{.}\) Without repetition, you would have \(P(10,4)\text{.}\)
21. \({10 \choose 4}\) since that is equal to \({9 \choose 4} + {9 \choose 3}\text{.}\)
22. Tampoco. Será un complicado (posiblemente PIE) problema de conteo.

3

Recuerda, tienes 3 corbatas regulares y 5 pajaritas. Te das cuenta que estaría bien usar más de dos corbatas a tu entrevista universitaria de payasos.

1. Debes seleccionar algunas de tus corbatas para usar. Todo está bien, desde sin ataduras hasta todas las ataduras. ¿Cuántas opciones tienes?
2. Si quieres usar al menos una corbata regular y una pajarita, pero estás dispuesto a usar hasta todas tus corbatas, ¿cuántas opciones tienes para qué corbatas usar?
3. ¿Cuántas opciones tienes si usas exactamente 2 de las 3 corbatas regulares y 3 de las 5 pajaritas?
4. Una vez que hayas seleccionado 2 corbatas regulares y 3 pajaritas, ¿en cuántos pedidos podrías ponerte las corbatas, asumiendo que debes tener una de las tres pajaritas encima?

Responder

1. \(2^8 = 256\) choices. You have two choices for each tie: wear it or don't.
2. Tienes 7 opciones para corbatas regulares (las 8 opciones menos la opción “sin corbata regular”) y 31 opciones para pajaritas (32 en total menos la opción “sin pajarita”). Así total tienes\(7 \cdot 31 = 217\) choices.
3. \({3\choose 2}{5\choose 3} = 30\) choices.
4. Selecciona una de las 3 pajaritas para ir arriba. Luego hay 4 opciones para el siguiente empate, 3 para el empate después de eso, y así sucesivamente. Así\(3\cdot 4! = 72\) choices.

4

Dar una pregunta de conteo donde está la respuesta\(8\cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\) Dar otra pregunta donde está la respuesta\(8 + 3 + 3 + 5\text{.}\)

Responder

Tienes 8 pajaritas moradas, 3 pajaritas rojas, 3 pajaritas azules y 5 pajaritas verdes. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar una pajarita de cada color para llevar contigo en un viaje? \(8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\) ways. How many choices do you have for a single bow tie to wear tomorrow? \(8 + 3 + 3 + 5\) choices.

5

Considere números de cinco dígitos\(\alpha = a_1a_2a_3a_4a_5\text{,}\) con cada dígito del conjunto\(\{1,2,3,4\}\text{.}\)

1. ¿Cuántos de esos números hay?
2. ¿Cuántos de esos números hay para los que la suma de los dígitos es par?
3. ¿Cuántos de esos números contienen más dígitos pares que dígitos impares?

Responder

1. \(4^5\) numbers.
2. \(4^4\cdot 2\) numbers (choose any digits for the first four digits - then pick either an even or an odd last digit to make the sum even).
3. Necesitamos 3 o más dígitos pares. 3 dígitos pares:\({5 \choose 3}2^3 2^2\text{.}\) 4 even digits: \({5 \choose 4}2^4 2\text{.}\) 5 even digits: \({5 \choose 5}2^5\text{.}\) So all together: \({5 \choose 3}2^3 2^2 + {5 \choose 4}2^4 2 + {5 \choose 5}2^5\) numbers.

6

En una pequeña encuesta reciente a pasajeros de aerolíneas, 25 dijeron que habían volado americano en el último año, 30 habían volado Jet Blue y 20 habían volado Continental. De ellos, 10 informaron que habían volado en American y Jet Blue, 12 habían volado en Jet Blue y Continental, y 7 habían volado en American y Continental. 5 pasajeros habían volado en las tres aerolíneas.

¿Cuántos pasajeros se encuestaron? (Supongamos que los resultados anteriores conforman toda la encuesta.)

Responder

51 pasajeros.

7

Recordemos, por cadenas\(8\) -bit, nos referimos a cadenas de dígitos binarios, de longitud 8.

1. ¿Cuántas\(8\) cadenas de bits hay en total?
2. ¿Cuántas cadenas\(8\) -bit tienen peso 5?
3. ¿Cuántos subconjuntos del conjunto\(\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\) contienen exactamente 5 elementos?
4. Explica por qué tus respuestas a las partes (b) y (c) son las mismas. ¿Por qué estas preguntas son equivalentes?

Responder

1. \(2^8\) strings.
2. \({8 \choose 5}\) strings.
3. \({8 \choose 5}\) strings.
4. Hay una biyección entre subconjuntos y cadenas de bits: un 1 significa que el elemento en es el subconjunto, un 0 significa que el elemento no está en el subconjunto. Para obtener un subconjunto de un conjunto de 8 elementos tenemos una cadena de 8 bits. Para asegurarse de que el subconjunto contiene exactamente 5 elementos, debe haber 5 1's, por lo que el peso debe ser 5.

8

¿Cuál es el coeficiente de\(x^{10}\) en la expansión de\((x+1)^{13} + x^2(x+1)^{17}\text{?}\)

Responder

\({13 \choose 10} + {17 \choose 8}\text{.}\)

9

¿Cuántas palabras de 8 letras contienen exactamente 5 vocales (a, e, i, o, u)? ¿Y si no se permitían las letras repetidas?

Responder

Con letras repetidas permitidas:\({8 \choose 5}5^5 21^3\) words. Without repeats: \({8 \choose 5}5! P(21, 3)\) words.

10

Para cada uno de los siguientes, encuentre el número de caminos de celosía más cortos desde\((0,0)\) los\((8,8)\) cuales:

1. pasar por el punto\((2,3)\text{.}\)
2. evitar (no pasar por) el punto\((7,5)\text{.}\)
3. ya sea pasar a través\((2,3)\) o\((5,7)\) (o ambos).

Responder

1. \({5 \choose 2}{11 \choose 6}\) paths.
2. \({16 \choose 8} - {12 \choose 7}{4 \choose 1}\) paths.
3. \({5 \choose 2}{11 \choose 6} + {12 \choose 5}{4 \choose 3} - {5 \choose 2}{7 \choose 3}{4 \choose 3}\) paths.

11

Vives en Grid-Town en la esquina de 2 y 3, y trabajas en un edificio en la esquina de 10 y 13. ¿Cuántas rutas hay que te lleven de casa al trabajo y luego de vuelta a casa, pero por una ruta diferente?

Responder

\({18 \choose 8}\left({18 \choose 8} - 1\right)\) routes.

12

¿Cuántas cadenas de 10 bits comienzan con\(111\) o terminan con\(101\) o ambas?

Responder

\(2^7 + 2^7 - 2^4\) strings (using PIE).

13

¿Cuántas cadenas de 10 bits de peso 6 comienzan con\(111\) o terminan con\(101\) o ambas?

Responder

\({7 \choose 3} + {7 \choose 4} - {4 \choose 1}\) strings.

14

¿Cuántas palabras de 6 letras hechas de las letras\(a,b,c,d,e,f\) sin repeticiones no contienen la subpalabra “malo” en (a) letras consecutivas? o b) letras no necesariamente consecutivas (pero en orden)?

Responder

(a)\(6! - 4\cdot 3!\) words. (b) \(6! - {6 \choose 3}3!\) words.

15

Explicar el uso de caminos de celosía\(\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n\text{.}\)

Responder

\(2^n\) is the number of lattice paths which have length \(n\text{,}\) since for each step you can go up or right. Such a path would end along the line \(x + y = n\text{.}\) So you will end at \((0,n)\text{,}\) or \((1,n-1)\) or \((2, n-2)\) or … or \((n,0)\text{.}\) Counting the paths to each of these points separately, give \({n \choose 0}\text{,}\) \({n \choose 1}\text{,}\) \({n \choose 2}\text{,}\) …, \({n \choose n}\) (each time choosing which of the \(n\) steps to be to the right). These two methods count the same quantity, so are equal.

16

Supongamos que tiene 20 billetes de un dólar para entregar como premios a sus 5 mejores estudiantes discretos de matemáticas. ¿De cuántas maneras puedes hacer esto si:

1. ¿Cada uno de los 5 alumnos obtiene al menos 1 dólar?
2. Algunos estudiantes podrían no obtener nada?
3. ¿Cada estudiante obtiene al menos 1 dólar pero no más de 7 dólares?

Pista

Estrellas y barras.

Responder

1. \({19 \choose 4}\) ways.
2. \({24 \choose 4}\) ways.
3. \({19 \choose 4} - \left[{5 \choose 1}{12 \choose 4} - {5 \choose 2}{5 \choose 4} \right]\) ways.

17

Cuántas funciones\(f: \{1,2,3,4,5\} \to \{a,b,c,d,e\}\) hay satisfactorias:

1. \(f(1) = a\)o\(f(2) = b\) (o ambos)?
2. \(f(1) \ne a\)o\(f(2) \ne b\) (o ambos)?
3. \(f(1) \ne a\)\(f(2) \ne b\text{,}\)y\(f\) ¿es inyectivo?
4. \(f\)es suryectiva, pero\(f(1) \ne a\text{,}\)\(f(2) \ne b\text{,}\)\(f(3) \ne c\text{,}\)\(f(4) \ne d\) y\(f(5) \ne e\text{?}\)

Responder

1. \(5^4 + 5^4 - 5^3\) functions.
2. \(4\cdot 5^4 + 5 \cdot 4 \cdot 5^3 - 4 \cdot 4 \cdot 5^3\) functions.
3. \(5! - \left[ 4! + 4! - 3! \right]\) functions. Note we use factorials instead of powers because we are looking for injective functions.
4. Tenga en cuenta que ser surytivo aquí es lo mismo que ser inyectivo, así podemos comenzar con todos\(5!\) injective functions and subtract those which have one or more “fixed point”. We get \(5! - \left[{5 \choose 1}4! - {5 \choose 2}3! + {5 \choose 3}2! - {5 \choose 4}1! + {5 \choose 5} 0!\right]\) functions.

18

¿Cuántas funciones\(\{1,2,3,4,5,6\}\) se\(\{a,b,c,d\}\) mapean (es decir, cuántas suryecciones hay)?

Responder

\(4^6 - \left[{4 \choose 1}3^6 - {4 \choose 2}2^6 + {4 \choose 3} 1^6 \right]\text{.}\)

19

Para agradecer a tu profesor de matemáticas por hacer un trabajo tan increíble durante todo el semestre, decides hornear galletas Oscar. Ya sabes hacer 10 tipos diferentes de cookies.

1. Si quieres darle a tu profesor 4 diferentes tipos de cookies, ¿cuántas combinaciones diferentes de tipo de cookies puedes seleccionar? Explica tu respuesta.
2. Para mantener las cosas interesantes, decides hacer un número diferente de cada tipo de cookie. Si de nuevo quieres seleccionar 4 tipos de cookies, de cuántas formas puedes seleccionar los tipos de cookies y decidir para cuál habrá más, la segunda más, etc. explica tu respuesta.
3. Vuelves a cambiar de opinión. En esta ocasión decides harás un total de 12 cookies. Cada galleta podría ser cualquiera de los 10 tipos de galletas que sabes hornear (y está bien si dejas algunos tipos fuera). ¿Cuántas opciones tienes? Explique.
4. Te das cuenta que el plan anterior no contabilizaba la presentación. Esta vez, una vez más quieres hacer 12 cookies, cada una podría ser cualquiera de los 10 tipos de cookies. No obstante, ahora planeas dar forma a las galletas en los números 1, 2,..., 12 (y probablemente arreglarlas para hacer un reloj gigante, pero aún no te has decidido por eso). ¿Cuántas opciones tiene para qué tipos de galletas hornear en qué números? Explique.
5. El único defecto con el último plan es que tu profesor podría no llegar a probar las 10 variedades diferentes de galletas. ¿Cuántas opciones tiene para qué tipos de cookies hacer en qué números, dado que cada tipo de cookie debe estar presente al menos una vez? Explique.

Responder

1. \({10 \choose 4}\) combinations. You need to choose 4 of the 10 cookie types. Order doesn't matter.
2. \(P(10, 4) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\) ways. You are choosing and arranging 4 out of 10 cookies. Order matters now.
3. \({21 \choose 9}\) choices. You must switch between cookie type 9 times as you make your 12 cookies. The cookies are the stars, the switches between cookie types are the bars.
4. \(10^{12}\) choices. You have 10 choices for the “1” cookie, 10 choices for the “2” cookie, and so on.
5. \(10^{12} - \left[{10 \choose 1}9^{12} - {10 \choose 2}8^{12} + \cdots - {10 \choose 10}0^{12} \right]\) choices. We must use PIE to remove all the ways in which one or more cookie type is not selected.

20

¿Para cuál de las partes del problema anterior (Ejercicio 1.7.19) tiene sentido interpretar la pregunta de conteo como contar algún número de funciones? Di cuál debería ser el dominio y el codominio, y si estás contando todas las funciones, inyecciones, suryecciones, o algo más.

Responder

1. Le estás dando a tu profesor 4 tipos de cookies procedentes de 10 tipos diferentes de cookies. Esto no se presta bien a una interpretación de funciones. Podríamos decir que el dominio contiene los 4 tipos que le darás a tu profesor y el codominio contiene los 10 que puedes elegir, pero luego contar inyecciones sería demasiado (no importa si eliges primero el tipo 3 y el tipo 2 segundo, o al revés, solo que elijas esos dos tipos).
2. Queremos considerar las funciones inyectoras del conjunto\(\{\)most, second most, second least, least\(\}\) to the set of 10 cookie types. We want injections because we cannot pick the same type of cookie to give most and least of (for example).
3. Este no es un buen problema para interpretar como una función. El problema es que el dominio tendría que ser las 12 galletas que horneas, pero estos elementos son indistinguibles (no hay una primera cookie, una segunda galleta, etc.).
4. El dominio debe ser las 12 formas, el codominio los 10 tipos de cookies. Ya que podemos usar el mismo tipo para diferentes formas, estamos interesados en contar todas las funciones aquí.
5. Aquí insistimos en que cada tipo de cookie se dé al menos una vez, por lo que ahora estamos pidiendo el número de sobrejecciones de esas funciones contadas en la parte anterior.