1.1: Principios Aditivos y Multiplicativos

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¡Investiga!

1. Un restaurante ofrece 8 aperitivos y 14 platos principales. ¿Cuántas opciones tienes si:
   1. comerás un plato, ya sea un aperitivo o un plato principal?
   2. tienes más hambre y quieres comer tanto un aperitivo como un plato principal?
2. Piensa en los métodos que utilizaste para resolver la pregunta 1. Anote las reglas para estos métodos.
3. ¿Funcionan tus reglas? Una baraja estándar de naipes tiene 26 cartas rojas y 12 cartas de cara.
   1. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar una tarjeta que sea roja o una carta facial?
   2. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar una tarjeta que sea roja y una carta facial?
   3. ¿De cuántas formas puedes seleccionar dos cartas para que la primera sea roja y la segunda sea una carta facial?

Considera este problema de conteo bastante simple: en Red Dogs and Donuts, hay 14 variedades de donas, y 16 tipos de hot dogs. Si quieres ya sea un donut o un perro, ¿cuántas opciones tienes? Esto no es demasiado duro, solo agrega 14 y 16. ¿Eso siempre funcionará? ¿Qué es lo importante aquí?

Principio Aditivo

El principio aditivo establece que si el evento\(A\) puede ocurrir de\(m\) maneras, y el evento\(B\) puede ocurrir de maneras\(n\) disjuntas, entonces el evento “\(A\)o\(B\)” puede ocurrir de\(m + n\) maneras.

Es importante que los acontecimientos sean disjuntos: es decir, que no haya manera de que ambos sucedan\(B\) al mismo tiempo\(A\) y que ambos ocurran. Por ejemplo, una baraja estándar de 52 cartas contiene cartas\(26\) rojas y cartas\(12\) faciales. Sin embargo, el número de formas de seleccionar una carta que sea roja o una carta facial no es\(26 + 12 = 38\text{.}\) Esto se debe a que hay 6 cartas que son tanto rojas como cartas de cara.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuántas “palabras” de dos letras comienzan con A o B? (Una palabra es solo una cadena de letras; no tiene que ser inglesa, ni siquiera pronunciable).

Solución

Primero, ¿cuántas palabras de dos letras comienzan con A? Solo tenemos que seleccionar la segunda letra, lo que se puede lograr de 26 maneras. Entonces hay 26 palabras que empiezan por A. También hay 26 palabras que empiezan por B. Para seleccionar una palabra que comience con A o B, podemos escoger la palabra entre las primeras 26 o las segundas 26, para un total de 52 palabras.

El principio aditivo también funciona con más de dos eventos. Digamos, además de tus 14 opciones para donas y 16 para perros, ¿también considerarías comer uno de los 15 gofres? ¿Cuántas opciones tienes ahora? Tendrías\(14 + 16 + 15 = 45\) opciones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Cuántas palabras de dos letras comienzan con una de las 5 vocales?

Solución

Hay 26 palabras de dos letras que empiezan por A, otras 26 que empiezan por E, y así sucesivamente. Tendremos 5 grupos de 26. Entonces sumamos 26 a sí mismo 5 veces. Por supuesto que sería más fácil simplemente multiplicar\(5\cdot 26\text{.}\) We are really using the additive principle again, just using multiplication as a shortcut.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que vas por algún fro-yo. Puedes elegir una de las 6 opciones de yogurt y una de las 4 coberturas. ¿Cuántas opciones tienes?

Solución

Divide tus elecciones en eventos disjuntos:\(A\) are the choices with the first topping, \(B\) the choices featuring the second topping, and so on. There are four events; each can occur in 6 ways (one for each yogurt flavor). The events are disjoint, so the total number of choices is \(6 + 6 + 6 + 6 = 24\text{.}\)

Tenga en cuenta que en ambos ejemplos anteriores, cuando se usa el principio aditivo en un montón de eventos del mismo tamaño, es más rápido de multiplicar. Esto realmente es lo mismo, y no solo porque Primero\(6 + 6 + 6 + 6 = 4\cdot 6\text{.}\) podemos seleccionar el topping de 4 formas (es decir, primero seleccionamos cuál de los eventos disjuntos tomaremos). Para cada una de esas primeras 4 opciones, ahora tenemos 6 opciones de yogur. Contamos con:

Principio Multiplicativo

El principio multiplicativo establece que si el evento\(A\) puede ocurrir de\(m\) maneras, y cada posibilidad\(A\) permite exactamente\(n\) formas para el evento,\(B\text{,}\) entonces el evento “\(A\)y\(B\)” puede ocurrir de\(m \cdot n\) maneras.

El principio multiplicativo se generaliza a más de dos eventos también.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

¿Cuántas placas puedes hacer con tres letras seguidas de tres dígitos numéricos?

Solución

Aquí tenemos seis eventos: la primera letra, la segunda letra, la tercera letra, el primer dígito, el segundo dígito y el tercer dígito. Los tres primeros eventos pueden ocurrir cada uno de 26 maneras; los tres últimos pueden ocurrir cada uno de 10 maneras. Por lo que el número total de placas será\(26\cdot 26\cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\text{,}\) using the multiplicative principle.

¿Tiene sentido esto? Piensa en cómo elegiríamos una matrícula. ¿Cuántas opciones tendríamos? Primero, tenemos que escoger la primera letra. Hay 26 opciones. Ahora para cada una de esas, hay 26 opciones para la segunda letra: 26 segundas letras con la primera letra A, 26 segundas letras con la primera letra B, y así sucesivamente. Nos sumamos 26 a sí mismo 26 veces. O más rápido: hay\(26 \cdot 26\) choices for the first two letters.

Ahora para cada elección de las dos primeras letras, tenemos 26 opciones para la tercera letra. Es decir, 26 letras terceras para las dos primeras letras AA, 26 opciones para la tercera letra después de iniciar AB, y así sucesivamente. Hay\(26 \cdot 26\) of these \(26\) third letter choices, for a total of \((26\cdot26)\cdot 26\) choices for the first three letters. And for each of these \(26\cdot26\cdot26\) choices of letters, we have a bunch of choices for the remaining digits.

De hecho, van a haber exactamente 1000 opciones para los números. Esto lo podemos ver porque hay 1000 números de tres dígitos (del 000 al 999). Se trata de 10 opciones para el primer dígito, 10 para el segundo y 10 para el tercero. El principio multiplicativo dice que multiplicamos:\(10\cdot 10 \cdot 10 = 1000\text{.}\)

Todos juntos, hubo\(26^3\) choices for the three letters, and \(10^3\) choices for the numbers, so we have a total of \(26^3 \cdot 10^3\) choices of license plates.

Cuidado: “y” no significa “tiempos”. Por ejemplo, ¿cuántos naipes son tanto rojos como una carátula? No\(26 \cdot 12\text{.}\) La respuesta es 6, y necesitábamos saber algo sobre tarjetas para responder a esa pregunta.

Otra precaución: ¿de cuántas formas puedes seleccionar dos cartas, para que la primera sea una tarjeta roja y la segunda sea una carta facial? Esto se parece más al principio multiplicativo (estás contando dos eventos separados) pero la respuesta tampoco está\(26 \cdot 12\) aquí. El problema es que si bien hay 26 formas para que se seleccione la primera tarjeta, no es el caso de que para cada una de esas haya 12 formas de seleccionar la segunda tarjeta. Si la primera carta fuera tanto roja como una cara, entonces solo habría 11 opciones para la segunda carta. ¹ Para resolver este problema, podrías dividirlo en dos casos. Primero, cuente cuántas formas hay de seleccionar las dos cartas cuando la primera carta es una tarjeta roja sin cara. Segundo, cuente cuántas formas cuando la primera carta sea una tarjeta roja. Al hacerlo, los eventos en cada caso separado son independientes, por lo que se puede aplicar el principio multiplicativo.

Funciones de conteo

¿Cuántas funciones\(f:\{1,2,3,4,5\} \to \{a,b,c,d\}\) hay?

Solución

Recuerde que una función envía cada elemento del dominio a exactamente un elemento del codominio. Para determinar una función, solo necesitamos especificar la imagen de cada elemento en el dominio. ¿A dónde podemos enviar 1? Hay 4 opciones. ¿A dónde podemos enviar 2? Nuevamente, 4 opciones. Lo que tenemos aquí son 5 “eventos” (escogiendo la imagen de un elemento en el dominio) cada uno de los cuales puede suceder de 4 maneras (las elecciones para esa imagen). Así hay\(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\) functions.

Esto es más que un simple ejemplo de cómo podemos usar el principio multiplicativo en una cuestión particular de conteo. Lo que tenemos aquí es una interpretación general de ciertas aplicaciones del principio multiplicativo utilizando objetos matemáticos rigurosamente definidos: las funciones. Siempre que tengamos una pregunta de conteo que pida el número de resultados de un evento repetido, podemos interpretarlo como pedir el número de funciones de\(\{1,2,\ldots, n\}\) (where \(n\) is the number of times the event is repeated) to \(\{1,2,\ldots,k\}\) (where \(k\) is the number of ways that event can occur).

Contar con juegos

¿Crees en los principios aditivos y multiplicativos? ¿Cómo convencerías a alguien de que está en lo cierto? Esto es sorprendentemente difícil. Parecen tan simples, tan obvios. Pero, ¿por qué funcionan?

Para que las cosas sean más claras, y matemáticamente más rigurosas, usaremos sets. ¡No te saltes esta sección! Puede parecer que solo estamos tratando de dar una prueba de estos principios, pero estamos haciendo mucho más. Si entendemos rigurosamente los principios aditivos y multiplicativos, estaremos mejor en aplicarlos, y saber cuándo y cuándo no aplicarlos en absoluto.

Miraremos los principios aditivos y multiplicativos de una manera ligeramente diferente. En lugar de pensar en evento\(A\) y evento\(B\text{,}\) queremos pensar en un set\(A\) y un set\(B\text{.}\) Los sets contendrán todas las diferentes formas en que el evento puede suceder. (Será útil poder cambiar de un lado a otro entre estos dos modelos al verificar que hemos contado correctamente). Esto es lo que queremos decir:

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que tienes 9 camisas y 5 pares de pantalones.

1. ¿Cuántos atuendos puedes hacer?
2. Si hoy es medio día desnudo, y vas a usar solo una camisa o solo un par de pantalones, ¿cuántas opciones tienes?

Contestar

A estas alturas ya deberías estar de acuerdo en que la respuesta a la primera pregunta es\(9 \cdot 5 = 45\) and the answer to the second question is \(9 + 5 = 14\text{.}\) These are the multiplicative and additive principles. There are two events: picking a shirt and picking a pair of pants. The first event can happen in 9 ways and the second event can happen in 5 ways. To get both a shirt and a pair of pants, you multiply. To get just one article of clothing, you add.

Ahora mira esto usando sets. Hay dos conjuntos, llámalos\(S\) and \(P\text{.}\) The set \(S\) contains all 9 shirts so \(|S| = 9\) while \(|P| = 5\text{,}\) since there are 5 elements in the set \(P\) (namely your 5 pairs of pants). What are we asking in terms of these sets? Well in question 2, we really want \(|S \cup P|\text{,}\) the number of elements in the union of shirts and pants. This is just \(|S| + |P|\) (since there is no overlap; \(|S \cap P| = 0\)). Question 1 is slightly more complicated. Your first guess might be to find \(|S \cap P|\text{,}\) but this is not right (there is nothing in the intersection). We are not asking for how many clothing items are both a shirt and a pair of pants. Instead, we want one of each. We could think of this as asking how many pairs \((x,y)\) there are, where \(x\) is a shirt and \(y\) is a pair of pants. As we will soon verify, this number is \(|S| \cdot |P|\text{.}\)

A partir de este ejemplo podemos ver de inmediato cómo reformular nuestro principio aditivo en términos de conjuntos:

Principio aditivo (con juegos)

Dados dos conjuntos\(A\) y\(B\text{,}\) si\(A \cap B = \emptyset\) (es decir, si no hay ningún elemento en común a ambos\(A\) y\(B\)), entonces

\ begin {ecuación*}\ tarjeta {A\ copa B} =\ tarjeta {A} +\ tarjeta {B}. \ end {ecuación*}

Esto apenas necesita una prueba. Para encontrar\(A \cup B\text{,}\) tomas todo\(A\) y tirar todo en\(B\text{.}\) Dado que ya no hay elemento en ambos sets, tendrás\(\card{A}\) cosas y agregarás cosas\(\card{B}\) nuevas a ella. ¡Esto es lo que hace la adición! Por supuesto, podemos extender esto fácilmente a cualquier número de conjuntos disjuntos.

Del ejemplo anterior, vemos que para investigar cuidadosamente el principio multiplicativo, necesitamos considerar pares ordenados. Debemos definir esto cuidadosamente:

Producto cartesiano

Dados conjuntos\(A\) y\(B\text{,}\) podemos formar el conjunto\(A \times B = \{(x,y) \st x \in A \wedge y \in B\}\) para que sea el conjunto de todos los pares ordenados\((x,y)\) donde\(x\) es un elemento de\(A\) y\(y\) es un elemento de\(B\text{.}\) Llamamos\(A \times B\) al producto cartesiano de\(A\) y\(B\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Let\(A = \{1,2\}\) and\(B=\{3,4,5\}\text{.}\) Find\(A \times B\text{.}\)

Contestar

Queremos encontrar pares ordenados\((a,b)\) where \(a\) can be either \(1\) or \(2\) and \(b\) can be either 3, 4, or 5. \(A \times B\) is the set of all of these pairs:

\ comenzar {ecuación*} A\ veces B =\ {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}\ final {ecuación*}

La pregunta es, qué es\(\card{A \times B}\text{?}\) Para resolverlo, escribe\(A \times B\text{.}\) Let\(A = \{a_1,a_2, a_3, \ldots, a_m\}\) y\(B = \{b_1,b_2, b_3, \ldots, b_n\}\) (así\(\card{A} = m\) y\(\card{B} = n\)). El conjunto\(A \times B\) contiene todos los pares siendo la primera mitad del par algunos\(a_i \in A\) y siendo el segundo uno de los\(b_j \in B\text{.}\) En otras palabras:

\ begin {alinear*}
A\ veces B =\ {& (a_1, b_1), (a_1, b_2), (a_1, b_3),\ lpuntos (a_1, b_n),\\
& (a_2, b_1), (a_2, b_2), (a_2, b_3),\ lpuntos, (a_2, b_n),\\
& (a_3, b_1), (a_3, b_2), (a_3, b_3),\ lpuntos, (a_3, b_n),\\
&\ vdots\\
& amp; (a_m, b_1), (a_m, b_2), (a_m, b_3),\ lpuntos, (a_m, b_n)\}.
\ end {align*}

Observe lo que hemos hecho aquí: hicimos\(m\) filas de\(n\) pares, para un total de\(m \cdot n\) pares.

Cada fila de arriba es realmente\(\{a_i\} \times B\) para algunos Es\(a_i \in A\text{.}\) decir, arreglamos el\(A\) -elemento. Roto de esta manera, tenemos

\ comenzar {ecuación*} A\ veces B = (\ {a_1\}\ veces B)\ taza (\ {a_2\}\ veces B)\ taza (\ {a_3\}\ veces B)\ taza\ cdots\ taza (\ {a_m\}\ veces B). \ end {ecuación*}

Así\(A \times B\) es realmente la unión de\(m\) conjuntos disjuntos. Cada uno de esos conjuntos tiene\(n\) elementos en ellos. El total (usando el principio aditivo) es\(n + n + n + \cdots + n = m \cdot n\text{.}\)

Para resumir:

Principio Multiplicativo (con conjuntos)

Dados dos conjuntos\(A\) y\(B\text{,}\) tenemos\(\card{A \times B} = \card{A} \cdot \card{B}\text{.}\)

Nuevamente, podemos extender esto fácilmente a cualquier número de conjuntos.

Principio de Inclusión/Exclusión

¡Investiga!

Una reciente campaña de marketing para Village Inn encuestó a los clientes sobre sus preferencias de pastel. A las personas se les preguntó si disfrutaban de (A) Manzana, (B) Arándano o (C) Pastel de cereza (los encuestados respondieron sí o no a cada tipo de pastel, y podrían decir que sí a más de un tipo). En la siguiente tabla se muestran los resultados de la encuesta.

Pies disfrutados:	A	B	C	AB	AC	BC	ABC
Número de personas:	20	13	26	9	15	7	5

¿Cuántos de los que se preguntan disfrutan al menos de uno de los tipos de pastel? Además, explique por qué la respuesta no es 95.

Mientras estamos pensando en sets, considera qué sucede con el principio aditivo cuando los conjuntos NO son disjuntos. Supongamos que queremos encontrar\(\card{A \cup B}\) y saber eso\(\card{A} = 10\) y Sin embargo,\(\card{B} = 8\text{.}\) esta no es suficiente información. No sabemos cuántos de los 8 elementos en también\(B\) son elementos de\(A\text{.}\) Sin embargo, si también sabemos que\(\card{A \cap B} = 6\text{,}\) entonces podemos decir exactamente cuántos elementos están en\(A\text{,}\) y, de esos, cuántos están en\(B\) y cuántos no (6 de los 10 elementos están en\(B\text{,}\) así que 4 están en \(A\)pero no en\(B\)). Podríamos rellenar un diagrama de Venn de la siguiente manera:

Esto dice que hay 6 elementos en\(A \cap B\text{,}\) 4 elementos en\(A \setminus B\) y 2 elementos en\(B \setminus A\text{.}\) Ahora estos tres conjuntos son disjuntos, por lo que podemos usar el principio aditivo para encontrar el número de elementos en\(A \cup B\text{.}\) Es\(6 + 4 + 2 = 12\text{.}\)

Esto siempre funcionará, pero dibujar un diagrama de Venn es más de lo que necesitamos hacer. De hecho, sería bueno relacionar este problema con el caso donde\(A\) y\(B\) son disjuntos. ¿Hay alguna regla que podamos hacer que funcione en cualquier caso?

Aquí hay otra forma de obtener la respuesta al problema anterior. Empieza por solo agregar\(\card{A} + \card{B}\text{.}\) Esta es la\(10 + 8 = 18\text{,}\) que sería la respuesta si\(\card{A \cap B} = 0\text{.}\) Vemos que estamos fuera exactamente por 6, que da la casualidad de que es\(\card{A \cap B}\text{.}\) Así que quizás adivinemos,

\ begin {ecuación*}\ tarjeta {A\ copa B} =\ tarjeta {A} +\ tarjeta {B} -\ tarjeta {A\ cap B}. \ end {ecuación*}

Esto funciona para este ejemplo. ¿Siempre va a funcionar? Piensa en lo que estamos haciendo aquí. Queremos saber cuántas cosas hay ya sea en\(A\) o\(B\) (o ambas). Podemos tirar todo dentro\(A\text{,}\) y todo en\(B\text{.}\) Esto daría\(\card{A} + \card{B}\) muchos elementos. Pero claro que cuando realmente tomas el sindicato, no repites elementos que están en ambos. Hasta ahora hemos contado cada elemento en\(A \cap B\) exactamente dos veces: una cuando colocamos los elementos de\(A\) y otra cuando incluimos los elementos de\(B\text{.}\) Corregimos restando el número de elementos que hemos contado dos veces. Entonces los sumamos en dos veces, restamos una vez, dejándolos contados solo una vez.

En otras palabras, tenemos:

Cardinalidad de una unión (2 juegos)

Para cualquier conjunto finito\(A\) y\(B\text{,}\)

\ begin {ecuación*}\ tarjeta {A\ copa B} =\ tarjeta {A} +\ tarjeta {B} -\ tarjeta {A\ cap B}. \ end {equation*} Podemos hacer algo similar con tres conjuntos.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Un examen en tres asignaturas, Álgebra, Biología y Química, fue realizado por 41 estudiantes. La siguiente tabla muestra cuántos alumnos fallaron en cada asignatura y en sus diversas combinaciones:

Sujeto:	A	B	C	AB	AC	BC	ABC
Falló:	12	5	8	2	6	3	1

¿Cuántos alumnos reprobaron al menos una asignatura?

Solución

La respuesta no es 37, aunque la suma de los números anteriores es 37. Por ejemplo, mientras 12 estudiantes reprobaron Álgebra, 2 de esos estudiantes también fallaron en Biología, 6 también reprobaron Química, y 1 de ellos reprobó las tres materias. De hecho, ese 1 alumno que reprobó las tres materias se cuenta un total de 7 veces en el total 37. Para aclarar las cosas, pensemos en los alumnos que fallaron Álgebra como los elementos del conjunto\(A\text{,}\) and similarly for sets \(B\) and \(C\text{.}\) The one student who failed all three subjects is the lone element of the set \(A \cap B \cap C\text{.}\) Thus, in Venn diagrams:

Ahora vamos a rellenar las otras intersecciones. Sabemos\(A\cap B\) contains 2 elements, but 1 element has already been counted. So we should put a 1 in the region where \(A\) and \(B\) intersect (but \(C\) does not). Similarly, we calculate the cardinality of \((A\cap C) \setminus B\text{,}\) and \((B \cap C) \setminus A\text{:}\)

A continuación, determinamos los números que deben ir en las regiones restantes, incluso fuera de los tres círculos. Este último número es el número de alumnos que no reprobaron ninguna asignatura:

Encontramos 5 va en el “\(A\) only” region because the entire circle for \(A\) needed to have a total of 12, and 7 were already accounted for. Similarly, we calculate the “\(B\) only” region to contain only 1 student and the “\(C\) only” region to contain no students.

Thus the number of students who failed at least one class is 15 (the sum of the numbers in each of the eight disjoint regions). The number of students who passed all three classes is 26: the total number of students, 41, less the 15 who failed at least one class.

Note that we can also answer other questions. For example, now many students failed just Chemistry? None. How many passed Algebra but failed both Biology and Chemistry? This corresponds to the region inside both \(B\) and \(C\) but outside of \(A\text{,}\) containing 2 students.

Could we have solved the problem above in an algebraic way? While the additive principle generalizes to any number of sets, when we add a third set here, we must be careful. With two sets, we needed to know the cardinalities of \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) and \(A \cap B\) in order to find the cardinality of \(A \cup B\text{.}\) With three sets we need more information. There are more ways the sets can combine. Not surprisingly then, the formula for cardinality of the union of three non-disjoint sets is more complicated:

Cardinality of a union (3 sets)

For any finite sets \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) and \(C\text{,}\)

\begin{equation*} \card{A \cup B \cup C} = \card{A} + \card{B} + \card{C} - \card{A \cap B} - \card{A \cap C} - \card{B \cap C} + \card{A \cap B \cap C} \end{equation*}To determine how many elements are in at least one of \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) or \(C\) we add up all the elements in each of those sets. However, when we do that, any element in both \(A\) and \(B\) is counted twice. Also, each element in both \(A\) and \(C\) is counted twice, as are elements in \(B\) and \(C\text{,}\) so we take each of those out of our sum once. But now what about the elements which are in \(A \cap B \cap C\) (in all three sets)? We added them in three times, but also removed them three times. They have not yet been counted. Thus we add those elements back in at the end.

Returning to our example above, we have \(\card{A} = 12\text{,}\) \(\card{B} = 5\text{,}\) \(\card{C} = 8\text{.}\) We also have \(\card{A \cap B} = 2\text{,}\) \(\card{A \cap C} = 6\text{,}\) \(\card{B \cap C} = 3\text{,}\) and \(\card{A \cap B \cap C} = 1\text{.}\) Therefore:

\begin{equation*} \card{A \cup B \cup C} = 12 + 5 + 8 - 2 - 6 - 3 + 1 = 15 \end{equation*}

This is what we got when we solved the problem using Venn diagrams.

This process of adding in, then taking out, then adding back in, and so on is called the Principle of Inclusion/Exclusion, or simply PIE. We will return to this counting technique later to solve for more complicated problems (involving more than 3 sets).