2.2: La infinitud de los Primes

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Ahora demostramos que hay infinitamente muchos primos. Hay varias formas de probar este resultado. Como ejercicio se da una prueba alternativa a la que aquí se presenta. La prueba que proporcionaremos fue presentada por Euclides en su libro Los Elementos.

Hay infinitamente muchos primos.

Presentamos la prueba por contradicción. Supongamos que hay finitamente muchos primos\(p_1, p_2, ...,p_n\), donde\(n\) es un entero positivo. Considera el entero\(Q\) tal que

\[Q=p_1p_2...p_n+1.\]

Por Lema 3,\(Q\) tiene por lo menos un divisor primo, digamos\(q\). Si demostramos que no\(q\) es uno de los primos enumerados entonces obtenemos una contradicción. Supongamos ahora que\(q=p_i\) para\(1\leq i\leq n\). Así\(q\) divide\(p_1p_2...p_n\) y como resultado\(q\) divide\(Q-p_1p_2...p_n\). Por lo tanto\(q\) divide 1. Pero esto es imposible ya que no hay primo que divida 1 y como resultado no\(q\) es uno de los primos listados.

El siguiente teorema discute las grandes brechas entre primos. Simplemente afirma que hay grandes brechas arbitrarias en la serie de primos y que los primos están espaciados de manera irregular.

Dado cualquier entero positivo\(n\), existen enteros compuestos\(n\) consecutivos.

Considere la secuencia de números enteros

\[(n+1)!+2, (n+1)!+3,...,(n+1)!+n, (n+1)!+n+1\]

Observe que cada entero en la secuencia anterior es compuesto porque\(k\) divide\((n+1)!+k\) if\(2\leq k\leq n+1\) por [thm4].

Ejercicios

Mostrar que el entero\(Q_n=n!+1\), donde\(n\) es un entero positivo, tiene un divisor primo mayor que\(n\). Concluimos que hay infinitamente muchos primos. Observe que este ejercicio es otra prueba de la infinitud de primos.
Encuentra los cinco enteros compuestos consecutivos más pequeños.
Encuentra un millón de enteros compuestos consecutivos.
Demostrar que no hay trillizos primos que no sean 3,5,7.

Colaboradores y Atribuciones

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